Discussion:Paradoxe de Bertrand

Probabilité nulle et ensemble infini

J'ai supprimé le passage suivant :

« Il s'agit ici d'une différence essentielle entre les probabilités sur un ensemble fini de situations où la probabilité nulle est équivalente avec l'évènement impossible, et les probabilités sur un ensemble infini de situations où un évènement réalisable peut avoir une probabilité nulle.

Il en serait de même pour « la probabilité qu'un entier pris au hasard soit impair », que l'on peut varier à volonté sur l'intervalle ouvert ]0,1[ selon la façon dont on effectue le tirage. Quant à « la probabilité qu'un réel tiré au hasard soit entier », elle est nulle, réellement nulle, ce qui n'empêche pas les nombres entiers d'avoir une existence. »

Si j'arrive à voir un lien avec le sujet, il me semble néanmoins que la connexion n'est pas très nette, tout du moins si les étapes intermédiaires du raisonnement ne sont pas explicitées. — Poulpy (d) 4 février 2008 à 11:00 (CET)

Où est le paradoxe ?

Dans l'énoncé il ne figure aucune restriction sur la façon de construire ces cordes; Donc toutes les constructions sont valables. il faut donc calculer la probabilité en prenant en compte toutes les constructions possibles. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par 85.169.62.186 (discuter), le 4 juin 2011 et déplacé de l'article vers ici par --Epsilon0 ε₀ 4 juin 2011 à 22:17 (CEST)

Un paradoxe qui n'en est pas un

Un paradoxe qui n'en est pas un

En fait ce "paradoxe" illustre simplement la nécessité, exprimée par Kolmogorov dans son axiomatique des probabilités, de définir l'espace probabilisable avant de définir la probabilité.

Dans le premier cas, l'espace probabilisable est le cercle lui-même, puisque c'est sur le cercle qu'on choisit au hasard les points P et Q. Chaque couple de points du cercle définit une corde qui est une issue possible. Le cercle étant composé d'une infinité de points, la probabilité d'en choisir un en particulier est évidemment nulle. Par contre, la probabilité de choisir un point sur un arc donné a un sens. On va donc considérer que les parties, les sous-ensembles, de notre espace qui sont "probabilisables" sont des arcs de cercle ou les réunions d'arcs de cercles et on va définir la probabilité de choisir un point sur un arc dans cet espace comme le rapport de la mesure de cet arc à la circonférence du cercle. Muni de cette structure, l'espace est probabilisé car les parties du cercle ainsi définies forment ce qu'on appelle une tribu et la probabilité qui leur est liée respecte tous les critères imposés par l'axiomatique. Dans cet espace, une fois P choisi, la probabilité pour que la longueur de la corde PQ soit supérieure à d quelconque est égale à la probabilité de choisir Q dans un arc de cercle AB ne contenant pas P et dont les extrémités sont telles que (distance de P à A) = (distance de P à B) = d.

Dans le deuxième cas, nous avons considéré que le choix aléatoire d'une corde était équivalent au choix de son milieu M, ce dernier pouvant être situé n'importe où à l'intérieur du disque. C'est donc l'intérieur du disque de rayon r tout entier qui devient l'espace à "probabiliser". Dans le disque, il est évident que la probabilité de choisir un point particulier ou un point sur une ligne est nulle. Les parties du disque qui sont probabilisables sont les surfaces ou des réunions de surfaces incluses dans le disque de rayon r. Elles forment aussi une tribu, et on peut considérer que la probabilité qu'un point aléatoire appartienne à un sous ensemble de cette tribu est le rapport de l'aire de ce sous ensemble à l'aire totale. Dans notre cas, pour que la longueur de la corde PQ soit supérieure au côté du triangle équilatéral inscrit, il faut et il suffit de prendre M dans le disque de centre O et de rayon r/2 (qui fait partie de notre tribu). Et il suffit d'appliquer la définition que nous avons donnée de la probabilité dans cet espace à ce cas particulier pour répondre à la question posée.

Enfin dans le troisième cas, le choix d'une corde est lié au choix de son milieu M sur un rayon du cercle. C'est donc ce rayon qui devient l'espace à probabiliser selon un processus désormais familier. On s'intéresse aux parties de ce rayon constituées par tous les segments ou réunions de segments inclus dans ce rayon. C'est encore une fois une tribu. On définit la probabilité sur ces segments comme le rapport de la longueur de chaque segment à la longueur totale r du rayon. Ensuite on constate que pour que notre corde soit de longueur supérieure à AB il faut choisir son milieu entre le centre O du cercle et le milieu du rayon, d'où une 3e évaluation de la probabilité.

Notre paradoxe n'a donc rien de mystérieux. Si l'on trouve des probabilités différentes c'est tout simplement parce qu'on se situe, au moment des choix aléatoires, dans des espaces (des univers) différents. On procède aux tirages une fois sur le cercle, une fois dans le disque, une fois sur un segment de droite. Ces espaces sont découpés en parties probabilisables de natures différentes (arcs, surfaces, segments) et pour chacune de ces parties on utilise un procédé de mesure différent. Dans ces conditions, est-il mystérieux que les probabilités calculées soient toute différentes? Certes, par un hasard du langage, on qualifie les trois probabilités par les mêmes termes: "probabilité pour qu'une corde choisie au hasard soit de longueur inférieure au côté du triangle équilatéral inscrit", mais en fait, comme nous venons de le voir, ces termes recouvrent des réalités très différentes dés lors que le hasard s'exerce dans des espaces différents. Elles caractérisent des mesures qui n'ont rien à voir les unes avec les autres. D'un point de vue mathématique, il est impossible de répondre à la question "quelle est la probabilité de tirer une corde dont la longueur vérifie telle propriété?", tant qu'on n'a pas défini la façon dont se déroule le tirage aléatoire, l'espace dans lequel il se déroule, les parties de cet espace qui forment une tribu dont chaque membre peut être doté d'une probabilité et le procédé de calcul de cette probabilité.

Bertrand a trouvé 3 réponses à sa question, il aurait pu en trouver beaucoup d'autres. D'autres univers où exercer un choix équivaut à choisir un nombre réel pouvant correspondre à la longueur d'une corde. (Par exemple, soit a un nombre positif, choisir au hasard un nombre X entre a⁰ = 1 et a⁹⁰ revient a choisir un angle inscrit de mesure comprise entre 0 et 90° et cet ange inscrit intercepte une corde de longueur aléatoire. Choisir X au hasard revient donc à choisir une corde au hasard et la probabilité pour que cette corde soit plus grande que le côté du triangle équilatéral inscrit est (a⁹⁰-a⁶⁰)/(a⁹⁰-1)).

Que Bertrand qui a découvert cette bizarrerie en 1888 la considère comme un paradoxe, n'a rien d'anormal dés lors qu'il faudra attendre 1933 pour que Kolmogorov publie son axiomatique. Mais aujourd'hui, peut - on encore parler de paradoxe? SV 20/03/2012

Merci SV pour votre Éclairage :)--Khwartz (discuter) 9 mars 2018 à 02:13 (CET)