Discussion:Anneau à PGCD

Recherche d'un contre-exemple

Il manque à l'article un exemple d'anneau intègre à pgcd qui ne soit ni de Bézout, ni factoriel. Dans le livre que j'ai consulté, un schéma, p 516, montre que les anneaux factoriels et les anneaux de Bézout forment des sous-ensembles stricts de l'ensemble des anneaux intègres à pgcd, mais aucun exemple n'est présenté. Sur le net, quelqu'un évoque le cas d'anneau à valuation dont le groupe de valuation serait tordu, par exemple R ou Z² mais sans fournir d'exemple ni de démonstration. Si quelqu'un peut exhiber un exemple ce serait un plus pour l'article. HB (d) 15 février 2011 à 08:43 (CET)

L'anneau intègre Z+XQ[X] est à PGCD (voir en:GCD domain#Examples) mais pas factoriel, car la suite croissante d'idéaux

$(X)\subset (X/2)\subset (X/4)\subset (X/8),...$

n'est pas stationnaire. Hélas, il me semble qu'il est de Bézout (?). La seule chose qui me laisse espérer que non est que si c'était le cas, ce serait probablement un TI mal placé, puisqu'on a des contre-exemples plus standard, et donc les :en l'auraient viré. Anne Bauval (d) 16 février 2011 à 16:33 (CET)

Il est de Bézout dans Szpirglas . Ce qui en fait effectivement un exemple plus accessible d'anneau de Bézout non factoriel. Il (il s'agit de Gilles Bailly-Maitre) n'en présente pas la démonstration mais cela me semble assez abordable.

Si P1(X) et P2(X) sont deux polynômes de ce type de terme de degré 0 entiers a et b (a et b non nuls) . P1(X) et P2(X) ont un pgcd dans Q[X] , R(X) dont le terme de degré nul est 1 et a et b ont pour pgcd dans Z d. Il suffit de montrer que dR(X) est combinaison linéaire de P1(X) et Q1(X)

c'est facile dans Q[X] : il existe deux polynômes U(X) et V(X) tels que U(X)P1(X)+V(X)P2(X) = dR(X). L'ennui est que l'on n'est pas sûr que leurs premiers termes r1 et r2 soient entiers.

Qu'à cela ne tienne : on sait qu'il existe deux entiers u et v tels que au+bv=d = ar1+br2 on sait donc que (u - r1)/b=(r2-v)/a = r3

Les polynômes U'(X) = U(X) + r3P2(X) et V'(X) = V(X) - r3P1(X) sont deux polynômes dont le premier terme est entier et qui vérifient aussi U'(X)P1(X)+V'(X)P2(X) = dR(X)

cela assure que (dR(X)) est inclus dans (P1(X)) + (P2(X)) et l'inclusion réciproque est immédiate

le cas où a ou b est nul ne me parait pas compliqué

Il me semble que ce raisonnement tient. mais TI ? HB (d) 17 février 2011 à 13:10 (CET)

C'est à ça que me faisait penser le paragraphe en anglais, merci d'avoir eu le courage de le rédiger. Donc ça ne répond pas à ta question initiale, mais c'est un exemple d'anneau de Bézout non factoriel (donc pour l'article anneau de Bézout plus que pour cet article-ci) plus accessible que les fonctions entières ou les entiers algébriques. À mon avis le seul risque de cette "très intéressante" preuve est qu'il reste encore des étourderies, mais pas plus que si elle était sourcée, et au fur et à mesure des relectures il tend vers 0. Mais voir autres exemples sur la pdd de anneau de Bézout bientôt.

Pourrais-tu préciser au maximum les 2 phrases avec "...une telle égalité n'est vraie que si l'on est assuré de..." et la phrase "à PGCD est aussi un anneau à PPCM" ? Du style : si a et b (fixés !) ont un ppcm alors ils ont un pgcd, mais la réciproque est fausse (?) Anne Bauval (d) 17 février 2011 à 15:01 (CET)

Oui, si a et b ont un ppcm alors ils ont un pgcd alors que la réciproque est fausse dans un anneau intègre quelconque Il suffit de reprendre à l'envers l'exemple fourni : 2 et $\scriptstyle 1-i{\sqrt {5}}$ sont irréductibles et possèdent un pgcd qui est 1, s'ils avaient un ppcm ce serait $\scriptstyle 2-2i{\sqrt {5}}$ qui a le mauvais goût de ne pas diviser 6 multiple commun de ces deux nombres. L'intérêt de l'anneau à pgcd est qu'il rend vraie la réciproque : si TOUS les couples (a,b) ont un pgcd alors ils ont aussi un ppcm. Je tente une réécriture. HB (d) 17 février 2011 à 16:07 (CET)

Tiens, on est observées ! avant, leur page prétendait que Z+XQ[X] n'était pas de Bézout et ils ont corrigé. Anne Bauval (d) 17 février 2011 à 17:13 (CET)

Exemple fourni par Liu (d) 22 février 2011 à 23:10 sur ma pdd, répondant à la question initiale de HB et qu'on pourrait je crois mettre dans l'article (j'ai déjà mis une ref qui joue le même rôle que Jaffard) Anne Bauval (d) 23 février 2011 à 00:26 (CET) : Si tu prends un anneau A qui est à pgcd mais non factoriel, alors A[X] est non factoriel, pas Bézout (considérer l'idéal (a, X) avec a dans A non trivial), et il est à pgcd (P. Jaffard, Les systèmes d'idéaux (Dunod, Paris, 1960). Chapitre IV, § 2, Proposition 4, p. 100). Pas pu vérifier la réf. mais source sérieuse.

Génial! Voilà tout l'intérêt d'un encyclopédie collaborative ! HB (d) 23 février 2011 à 11:24 (CET) PS : par a non trivial, tu entends je pense a non inversible ?

Mais Anne elle m'a fait chanter  ! Bon j'ai mis les détails de l'exemple. Liu (d) 27 février 2011 à 23:15 (CET)

Référence Szpirglas

Concernant l'usage des anneaux à pgcd , Szpirglas écrit page 505 qu'on travaille sur un anneau commutatif intègre, mais c'est p 511 que se situe la remarque précisant que les anneaux à pgcd se définissent aussi sur des anneaux non intègres mais que dans le cadre de recherche de leurs propriétés arithmétiques, il ne sera étudié que les anneaux à pgcd intègre. Donc par quelle page vaut-il mieux sourcer ? HB (d) 24 janvier 2012 à 20:12 (CET)

Les 2 à mon avis, en citant le bout de phrase (non accessible sur GoogleLivre) de ta p. 511. Je trouve la p. 505 intéressante aussi parce qu'elle inclut avec aplomb dans la définition que l'anneau doit être intègre pour être dit à pgcd. Anne Bauval (d) 24 janvier 2012 à 20:27 (CET)

Fait HB (d) 25 janvier 2012 à 07:59 (CET)

Anneau à PGCD plus fort que Gauss ?

A-t-on un exemple d'anneau (intègre) vérifiant le lemme de Gauss mais qui ne soit pas un anneau à PGCD ? Anne, 30/6/2013

J'ai cherché en vain. le problème est que, si je lis bien Gauss, dans un anneau vérifiant Gauss, tout couple d'éléments premiers entre eux a nécessairement un PPCM (qui est ab).

Par conséquent, dans un anneau vérifiant Gauss, tout couple d'éléments possédant un PGCD possède aussi un PPCM ( si PGCD (a,b)=d alors a=da', b=db', PGCD(a', b')=1. Si on a Gauss, PPCM (a', b') = a'b' puis PPCM (a,b)=da'b'). Or les exemples d'anneaux qui ne sont pas à PGCD sont presque tous des anneaux dans lequel certains éléments possèdent des PGCD mais pas de PPCM... HB (discuter) 2 mars 2022

Après plusieurs jours de jeu de piste acharné j'ai enfin trouvé (merci Google) : l'anneau

A := ℤ₍₂₎+X ℝ[[X]]

des séries formelles à coefficients réels dont le terme constant est un rationnel à dénominateur impair. Les 3 références sont :

• (en) D. D. Anderson et R. O. Quintero, « Some Generalizations of GCD-Domains », dans D. D. Anderson, Factorization in Integral Domains, Marcel Dekker, 1997 (lire en ligne), p. 189-195,
• (en) D. D. Anderson, « Integral v-ideals », Glasgow Math. J., vol. 22,‎ 1981, p. 167-172 (lire en ligne)
• (en) Eduardo Bastida et Robert Gilmer, « Overrings and divisorial ideals of rings of the form D + M », Michigan Math. J., vol. 20, n^o 1,‎ 1973, p. 79-95 (DOI 10.1307/mmj/1029001014)

Anderson et Quintero 1997, Example 3.7, donnent ce A comme exemple d'anneau qui n'est pas à PGCD mais qui pourtant vérifie (IP), et renvoient à Anderson 1981, Example 2.4 pour les deux justifications.

Un anneau intègre R vérifie (IP) (Anderson et Quintero 1997, Definition 2.7 ou Anderson 1981, p. 167) si pour tout idéal I de R, (I⁻¹)⁻¹ est l'intersection des idéaux principaux de R qui contiennent I. Cette propriété est intermédiaire entre « à PGCD » et Gauss :

• à PGCD ⇒ IP (Anderson 1981, Lemma 2.1).
• (IP) ⇒ Gauss (Anderson et Quintero 1997, Definition 2.12 et diagramme (3.2), Gauss = propriété (D))

Notre anneau A vérifie IP d'après Anderson 1981, Proposition 2.3(1), parce que ℤ₍₂₎ lui-même vérifie (IP) et n'est pas un corps (en effet, c'est un anneau de valuation discrète), donc A vérifie Gauss.

Pour le fait qu'il n'est pas à PGCD, Anderson renvoie à Bastida et Gilmer 1973, Theorem 3.13 : c'est parce que le corps des fractions de ℤ₍₂₎ n'est pas ℝ.

Tout ça nous fait une belle jambe… Anne, 5/3/2022, 17 h

Bravo pour ton obstination. Maintenant oui, ça nous fait une belle jambe... Comme dit sur un autre article plus élémentaire, ce résultat (dont je veux bien croire l'exactitude en faisant confiance aux sources) a-t-il pertinence à figurer sur WP ? (problématique rarement soulevée, exemple pas facile à comprendre...) La perfection ici sera-t-elle atteinte par addition ou soustraction? Je reste hésitante...

Enfin, déjà merci pour la réponse à cette question que JE me posais aussi. HB (discuter) 5 mars 2022 à 18:27 (CET)

Problématique rarement soulevée : peut-être pas (une fois qu'on a attrapé un fil on peut tirer sur la pelote et trouver plein de refs, comme j'ai fait — je n'ai affiché ici que les 3 principales). Exemple pas facile à comprendre : c'était vrai il y a 3 jours mais plus maintenant : sauf erreur, notre anneau A := ℤ₍₂₎ +X ℝ[[X]]

• vérifie Gauss parce que (dans A) si PGCD(a, b) = 1 alors a et b ne sont pas tous les deux multiples de 2, or les non multiples de 2 sont inversibles ;
• n'est pas à PGCD parce que X et X√2 n'ont pas de PPCM (l'idéal X²ℝ[[X]] n'est pas principal).

Anne, 8/3/2022, 10 h

Dis comme cela, c'est tout de suite plus clair et je me sens soudain moins bête. Bravo! Et si la problématique est soulevée elle a sa place dans l'article comme contre-exemple d'anneau vérifiant Gauss mais non à PGCD, faisant de l'appellation anneau de Gauss un terrible faux ami. HB (discuter) 11 mars 2022 à 08:18 (CET)

Une propriété utile

(facile à démontrer mais que j'ignorais) découverte par hasard dans cet article, qui l'utilise (p. 184) sans même l'expliciter :

tout diviseur commun à ax + by et cx + dy divise (ad – bc) pgcd(x, y).

Anne, 19/5/16

PGCD, PPCM et idéaux

 Anne, que penses-tu de l'idée d'ajouter les deux remarques suivantes, facilement sourçable (par ex; Szpirglas p. 509 et 510) :

• a et b possèdent un PPCM si et seulement si $(a)\cap (b)$ est principal. Le PPCM de a et b est alors générateur de $(a)\cap (b)$. Un anneau commutatif unitaire intègre est donc à PGCD si et seulement si l'intersection de deux idéaux principaux est toujours un idéal principal.
• Si $(a)+(b)$ est principal alors son générateur est un PGCD de a et b donc tout anneau principal est à PGCD, tout anneau de Bezout est à PGCD (je sais... principal => Bezout => PGCD mais cela vaut peut-être de le dire). En revanche l'existence d'un PGCD d n'assure pas que (a) + (b) soit principal. En général (a) + (b) est inclus dans (d).

Cela permettrait de mieux articuler anneau à PGCD et anneau de Bezout, non? HB (discuter) 2 mars 2022 à 08:28 (CET)

Bonjour HB. Si mon avis compte je trouve ces deux propriétés intéréssantes. Elles sont aussi démontrées dans cet article de Perrin qui mérite d'être cité amha : https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~perrin/Sevres/pgcd-ppcm.pdf. D'autres propriétés non sourcées ans dcet article y aussi sont démontrées. Quand (a)+(b)=(d), Perrin dit que d est un "pgcd fort" de a et b. Celastus (discuter) 2 mars 2022 à 09:44 (CET)

Oui HB, bonne idée ! Plutôt que « donc tout anneau principal est à PGCD, tout anneau de Bezout est à PGCD », je préfèrerais « donc tout anneau de Bezout (et a fortiori tout anneau principal) est à PGCD » Anne, 10 h 24

Anne, il est difficile d'être à deux à intervenir sur l'articulation d'un article. J'ai tenté d'intégrer mes propositions mais cela a conduit à modifier le plan : transfert de la propriété sur les anneaux de polynômes à coeff dans un anneau à PGCD, création de sous-sections. Si tu vois une façon plus heureuse de mettre ces remarques, n'hésite pas à revenir en arrière. HB (discuter) 2 mars 2022 à 16:27 (CET)

D'autre part, Perrin ne parle que de l'implication, PPCM => (a) inter (b) principal. Szpirglas parle de l'équivalence mais, je ne sais pourquoi, elle se limite aux éléments non nuls. Excès de prudence? Piège que je n'aurais pas vu?HB (discuter) 2 mars 2022 à 16:27 (CET)

Clairement un excès de prudence : d'une part, $(m)\subset (a)\cap (b)\Leftrightarrow m\in (a)\cap (b)\Leftrightarrow (m\in (a)\land m\in b)\Leftrightarrow (a\mid m\land b\mid m)$. D'autre part, $(a)\cap (b)\subset (m)\Leftrightarrow \forall x\in (a)\cap (b),x\in (m)\Leftrightarrow (\forall x\in A,a\mid x\land b\mid x\Rightarrow m\mid x)$ Celastus (discuter) 2 mars 2022 à 16:55 (CET)