Constante de Robbins

Cet article est une ébauche concernant les probabilités et la statistique.

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En géométrie, la constante de Robbins, du nom du mathématicien américain David P. Robbins (en), est la distance moyenne entre deux points pris au hasard dans le cube unité (côté de longueur 1).

Elle est égale par définition à l'intégrale sextuple $I=\int \limits _{[0,1]^{6}}{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}dx_{1}dx_{2}dy_{1}dy_{2}dz_{1}dz_{2}$ dont le calcul donne^[1]

{\frac {4+17{\sqrt {2}}-6{\sqrt {3}}-7\pi }{105}}+{\frac {\ln(1+{\sqrt {2}})}{5}}+{\frac {2\ln(2+{\sqrt {3}})}{5}}

,

soit environ^[2] $0{,}6617$ (décimales données par la suite A073012 de l'OEIS) .

Remarque :

la distance moyenne entre deux points du segment unité vaut $1/3$
la distance moyenne entre deux points du carré unité vaut ${\frac {2+{\sqrt {2}}+5\ln({\sqrt {2}}+1)}{15}}\approx 0,5214$ , voir la suite A091505 de l'OEIS
la distance moyenne entre deux points du disque unité (rayon 1) vaut ${\frac {128}{45\pi }}\approx 0,9054$ , voir la suite A093070 de l'OEIS.

Étapes de la démonstration du résultat ci-dessus[modifier | modifier le code]

Si u et v suivent une loi uniforme alors $w=|u-v|$ suit une loi triangulaire de fonction de répartition $2(1-w)$ . Donc en posant $x=|x_{2}-x_{1}|,y=|y_{2}-y_{1}|,z=|z_{2}-z_{1}|$ , $I=8\int \limits _{[0,1]^{3}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}(1-x)(1-y)(1-z)dxdydz$ ; on passe ensuite en coordonnées sphériques.

Références[modifier | modifier le code]

↑ (en) David P. Robbins et Theodore S. Bolis, « Solution to problem E2629: Average distance between two points in a box », American Mathematical Monthly, vol. 85, n^o 4,‎ 1978, p. 277-278 (JSTOR 2321177).
↑ (en) Simon Plouffe, Miscellaneous Mathematical Constants.