Fonction de Liouville
La fonction de Liouville, notée λ et nommée ainsi en l'honneur du mathématicien français Joseph Liouville, est une fonction arithmétique de la théorie des nombres, définie par[1]
où Ω (n) désigne le nombre de facteurs premiers comptés avec multiplicité de l'entier n > 0 :
Par exemple 12 = 2² × 3, d'où Ω (12) = 3).
Propriétés[modifier | modifier le code]
- La fonction λ est complètement multiplicative car la fonction Ω est complètement additive. Par conséquent λ(1) = 1.
- Elle satisfait l'identité suivante, où ✻ désigne la convolution de Dirichlet, 1 la fonction constante 1 et χC la fonction indicatrice de l'ensemble C des carrés parfaits :
En effet, ces deux fonctions de n sont multiplicatives et coïncident clairement sur les puissances de nombres premiers. - La fonction de Liouville est l'inverse, pour ✻, de la valeur absolue de la fonction de Möbius μ.
Cette propriété se déduit de la précédente en remarquant que χC ✻ |μ| = 1. - La série de Dirichlet de λ est reliée à la fonction zêta de Riemann par la formule :
- La série de Lambert de λ est :
où est une fonction thêta de Jacobi.
Conjectures[modifier | modifier le code]
Conjecture de Pólya[modifier | modifier le code]
On note . Pólya avait conjecturé en 1919[2] que ,ce qui fut réfuté en 1958 par Colin Brian Haselgrove[3]. Minoru Tanaka trouva en 1980 le plus petit contre-exemple n[4],[2] : L (906 150 257) = 1. On a même L(n) > 0,061867 √n pour une infinité d'entiers n[4]. On ignore si le nombre de changements de signes de L est fini[2], et pour cause : l'hypothèse de Riemann et la simplicité de tous les zéros de la fonction zêta de Riemann en résulteraient[4].
Autre conjecture (parfois attribuée à tort à Pál Turán) : si l'on définit , alors il semblait plausible que M(n) ≥ 0 pour n suffisamment grand, ce qui a été aussi réfuté en 1958 par Haselgrove[3],[4]. Cette propriété, si elle avait été vraie, aurait entraîné, comme l'avait montré Pál Turán, la véracité de l'hypothèse de Riemann.
Conjecture de Chowla[modifier | modifier le code]
Une conjecture de Sarvadaman Chowla énonce que, pour nombres entiers strictement positifs tous distincts et nombres entiers strictement positifs avec pour , on a :
- quand ,
où désigne le symbole de Landau.
La conjecture est vraie pour puisque équivalente au théorème des nombres premiers ; elle est ouverte pour .
En 2015, Kaisa Matomäki, Maksym Radziwill et Terence Tao ont réalisé des progrès, en ce qui concerne une version moyenne de la conjecture[5]. En 2016, Terence Tao a démontré une version logarithmique de la conjecture dans le cas [6]. Une conjecture similaire se formule de la même façon, en remplaçant la fonction de Liouville par la fonction de Möbius.
Notes et références[modifier | modifier le code]
- Suite A008836 de l'OEIS.
- (en) Eric W. Weisstein, « Pólya Conjecture », sur MathWorld.
- (en) C. B. Haselgrove, « A disproof of a conjecture of Pólya », Mathematika, vol. 5, , p. 141-145 (DOI 10.1112/S0025579300001480).
- (en) Peter Borwein, Ron Ferguson et Michael J. Mossinghoff, « Sign Changes in Sums of the Liouville Function », Math. Comp., vol. 77, no 263, , p. 1681-1694 (lire en ligne).
- (en) K. Matomäki, M. Radziwill et Terence Tao, « An averaged form of Chowla´s conjecture », Algebra & Number Theory, vol. 9, , p. 2167-2196 (arXiv 1503.05121)
- (en) T. Tao, « The logarithmically averaged Chowla and Elliott Conjectures for two-point correlations », Forum of Mathematics, Pi, vol. 4, (DOI 10.1017/fmp.2016.6), 36 pages.