Filtration (probabilités)

En théorie des probabilités, une filtration est une famille de tribus dans l'ordre croissant et chaque prédécesseur est un sous-ensemble du successeur, c'est-à-dire

${\mathcal {F}}_{s}\subseteq {\mathcal {F}}_{t},\;s\leq t$

pour les éléments de filtration $({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}$.

Avec la filtration on modélise le flux d'informations. Chaque élément ${\mathcal {F}}_{t}$ de la famille a l'information sur les événements qui étaient observables au temps $t$.

Definition

Soient $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ un espace de probabilité et $T\subseteq \mathbb {R} _{\geq 0}$.

La famille $\mathbb {F} :=({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}$ des sous-tribu ${\mathcal {F}}_{t}\subseteq {\mathcal {F}}$ est une filtration si ordonnée par ordre croissant, cela signifie

${\mathcal {F}}_{s}\subseteq {\mathcal {F}}_{t}$

pour tout $s\leq t$.

$(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {F} ,P)$ est un espace de probabilité filtré.

Caractérisations de filtration

Filtration naturelle

Soit $X=(X_{t})_{t\in T}$ un processus stochastique. La filtration naturelle est ${\mathcal {F}}_{t}^{0}:=\sigma (X_{s},s\leq t)$. C'est la filtration minimale telle que $X$ soit adapté.

Filtration continue

Soit $\mathbb {F} :=({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}$ une filtration. On définit

${\mathcal {F}}_{t^{-}}:=\bigvee _{s<t}{\mathcal {F}}_{s}=\sigma \left(\bigcup \limits _{s<t}{\mathcal {F}}_{s}\right)\quad ,\quad {\mathcal {F}}_{t^{+}}:=\bigcap _{s>t}{\mathcal {F}}_{s},$

on a toujours

${\mathcal {F}}_{t^{-}}\subseteq {\mathcal {F}}_{t}\subseteq {\mathcal {F}}_{t^{+}}$.

On définit

$\mathbb {F} ^{-}:=({\mathcal {F}}_{t^{-}})_{t\in T},\qquad \mathbb {F} ^{+}:=({\mathcal {F}}_{t^{+}})_{t\in T}.$

• On appelle $\mathbb {F}$ filtration continue à gauche, si

$\mathbb {F} =\mathbb {F} ^{-}$, c'est-à-dire ${\mathcal {F}}_{t}={\mathcal {F}}_{t^{-}}$ pour tout $t\in T.$

• On appelle $\mathbb {F}$ filtration continue à droite, si

$\mathbb {F} =\mathbb {F} ^{+}$, c'est-à-dire ${\mathcal {F}}_{t}={\mathcal {F}}_{t^{+}}$ pour tout $t\in T.$

• On appelle $\mathbb {F}$ filtration continue, si

$\mathbb {F} =\mathbb {F} ^{-}=\mathbb {F} ^{+}.$

On définit également

${\mathcal {F}}_{\infty }:=\bigvee _{t\in T}{\mathcal {F}}_{t^{-}}=\bigvee _{t\in T}{\mathcal {F}}_{t}=\bigvee _{t\in T}{\mathcal {F}}_{t^{+}}.$

Filtration augmentée

Pour un espace de probabilité $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ nous définissons l'ensemble $P$-négligeable

${\mathcal {N}}=\{A\subset \Omega :{\text{ il y a un }}B\in {\mathcal {F}}{\text{ avec }}A\subset B{\text{ et }}P(B)=0\}.$

La filtration ${\widehat {\mathbb {F} }}=({\hat {\mathcal {F}}}_{t})_{t\in T}$ avec

${\hat {\mathcal {F}}}_{t}:=\sigma ({\mathcal {F}}_{t}\cup {\mathcal {N}})$

est appelé filtration augmentée.

Conditions habituelles

Pour un espace de probabilité filtré $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {F} ,P)$ on dit que les conditions usuelles sont satisfaites si $\mathbb {F}$ est continue à droite et contient tout l'ensemble négligeable, c'est-à-dire

$\mathbb {F} =\mathbb {F} _{t+}={\widehat {\mathbb {F} }}.$

Bibliographie

• (en) Daniel revuz et Marc Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion, Springer, 1999
• (de) David Meintrup et Stefan Schäffler, Stochastik: Theorie und Anwendungen, Springer, 2005