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r
=
x
u
x
+
y
u
y
+
z
u
z
{\displaystyle {\boldsymbol {r}}=x{\boldsymbol {u}}_{x}+y{\boldsymbol {u}}_{y}+z{\boldsymbol {u}}_{z}}
La vitesse du point situé en r s'écrit
v
(
r
)
=
d
r
d
t
=
d
x
d
t
u
x
+
d
y
d
t
u
y
+
d
z
d
t
u
z
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {r}})={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {r}}}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{x}+{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{y}+{\frac {{\text{d}}z}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{z}}
,
et l'accélération
a
(
r
)
=
d
v
d
t
=
d
2
r
d
t
2
=
d
2
x
d
t
2
u
x
+
d
2
y
d
t
2
u
y
+
d
2
z
d
t
2
u
z
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}({\boldsymbol {r}})={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {v}}}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}^{2}{\boldsymbol {r}}}{{\text{d}}t^{2}}}={\frac {{\text{d}}^{2}x}{{\text{d}}t^{2}}}{\boldsymbol {u}}_{x}+{\frac {{\text{d}}^{2}y}{{\text{d}}t^{2}}}{\boldsymbol {u}}_{y}+{\frac {{\text{d}}^{2}z}{{\text{d}}t^{2}}}{\boldsymbol {u}}_{z}}
.
r
=
ρ
u
ρ
+
z
u
z
{\displaystyle {\boldsymbol {r}}=\rho {\boldsymbol {u}}_{\rho }+z{\boldsymbol {u}}_{z}}
v
=
d
r
d
t
=
d
ρ
d
t
u
ρ
+
ρ
d
φ
d
t
u
φ
+
d
z
d
t
u
z
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {r}}}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}\rho }{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{\rho }+\rho {\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{\varphi }+{\frac {{\text{d}}z}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{z}}
.
a
=
d
v
d
t
=
d
2
r
d
t
2
=
(
d
2
ρ
d
t
2
−
ρ
(
d
φ
d
t
)
2
)
u
ρ
+
(
2
d
ρ
d
t
d
φ
d
t
+
ρ
d
2
φ
d
t
2
)
u
φ
+
d
2
z
d
t
2
u
z
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {v}}}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}^{2}{\boldsymbol {r}}}{{\text{d}}t^{2}}}=\left({\frac {{\text{d}}^{2}\rho }{{\text{d}}t^{2}}}-\rho \left({\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}\right)^{2}\right){\boldsymbol {u}}_{\rho }+\left(2{\frac {{\text{d}}\rho }{{\text{d}}t}}{\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}+\rho {\frac {{\text{d}}^{2}\varphi }{{\text{d}}t^{2}}}\right){\boldsymbol {u}}_{\varphi }+{\frac {{\text{d}}^{2}z}{{\text{d}}t^{2}}}{\boldsymbol {u}}_{z}}
.
Ces formules sont basées sur le fait que la dérivée temporelle de deux des vecteurs de base est non nulle :
d
u
ρ
d
t
=
d
φ
d
t
u
φ
{\displaystyle {\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {u}}_{\rho }}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{\varphi }}
,
d
u
φ
d
t
=
−
d
φ
d
t
u
ρ
{\displaystyle {\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {u}}_{\varphi }}{{\text{d}}t}}=-{\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{\rho }}
.
r
=
r
u
r
{\displaystyle {\boldsymbol {r}}=r{\boldsymbol {u}}_{r}}
,
v
=
d
r
d
t
=
d
r
d
t
u
r
+
r
d
θ
d
t
u
θ
+
r
d
φ
d
t
sin
θ
u
φ
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {r}}}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}r}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{r}+r{\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{\theta }+r{\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}\sin \theta {\boldsymbol {u}}_{\varphi }}
;
a
=
d
v
d
t
=
d
2
r
d
t
2
=
a
r
u
r
+
a
θ
u
θ
+
a
φ
u
φ
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {v}}}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}^{2}{\boldsymbol {r}}}{{\text{d}}t^{2}}}=a_{r}{\boldsymbol {u}}_{r}+a_{\theta }{\boldsymbol {u}}_{\theta }+a_{\varphi }{\boldsymbol {u}}_{\varphi }}
,
avec:
a
r
=
(
d
2
r
d
t
2
−
r
(
d
θ
d
t
)
2
+
r
(
d
φ
d
t
)
2
sin
2
θ
)
{\displaystyle a_{r}=\left({\frac {{\text{d}}^{2}r}{{\text{d}}t^{2}}}-r\left({\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}\right)^{2}+r\left({\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta \right)}
,
a
θ
=
(
r
d
2
θ
d
t
2
+
2
d
r
d
t
d
θ
d
t
−
r
(
d
φ
d
t
)
2
sin
θ
cos
θ
)
{\displaystyle a_{\theta }=\left(r{\frac {{\text{d}}^{2}\theta }{{\text{d}}t^{2}}}+2{\frac {{\text{d}}r}{{\text{d}}t}}{\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}-r\left({\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}\right)^{2}\sin \theta \cos \theta \right)}
a
φ
=
(
r
d
2
φ
d
t
2
sin
θ
+
2
d
r
d
t
d
φ
d
t
sin
θ
+
2
r
d
φ
d
t
d
θ
d
t
cos
θ
)
{\displaystyle a_{\varphi }=\left(r{\frac {{\text{d}}^{2}\varphi }{{\text{d}}t^{2}}}\sin \theta +2{\frac {{\text{d}}r}{{\text{d}}t}}{\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}\sin \theta +2r{\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}{\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}\cos \theta \right)}
.
Soit un point de rayon vecteur r dans un référentiel
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
. Soit un autre référentiel,
R
′
{\displaystyle {\mathcal {R}}^{'}}
, dont l'origine est située au rayon vecteur s dans
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
. Le rayon vecteur du point, déterminé dans
R
′
{\displaystyle {\mathcal {R}}'}
est alors
r
′
=
r
−
s
{\displaystyle {\boldsymbol {r}}'={\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}}
.
Les vitesses du point peuvent être mesurées dans
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
ou dans
R
′
{\displaystyle {\mathcal {R}}'}
. Elles sont notées avec l'indice
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
ou
R
′
{\displaystyle {\mathcal {R}}'}
, de même que les accélérations.
Vitesse d'entraînement :
v
e
=
s
˙
R
+
Ω
∧
r
′
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{\rm {e}}={\dot {\boldsymbol {s}}}_{\mathcal {R}}+{\boldsymbol {\Omega }}\wedge {\boldsymbol {r}}'}
Loi de composition des vitesses :
v
R
=
v
R
′
′
+
v
e
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{\mathcal {R}}={\boldsymbol {v}}'_{{\mathcal {R}}'}+{\boldsymbol {v}}_{\rm {e}}}
Accélération d'entraînement :
a
e
=
s
¨
R
+
Ω
˙
∧
r
′
+
Ω
∧
(
Ω
∧
r
′
)
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{\rm {e}}={\ddot {\boldsymbol {s}}}_{\mathcal {R}}+{\dot {\boldsymbol {\Omega }}}\wedge {\boldsymbol {r}}'+{\boldsymbol {\Omega }}\wedge ({\boldsymbol {\Omega }}\wedge {\boldsymbol {r}}')}
Accélération de Coriolis :
a
c
=
2
Ω
∧
r
˙
R
′
′
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{\rm {c}}=2{\boldsymbol {\Omega }}\wedge {\dot {\boldsymbol {r}}}'_{{\mathcal {R}}'}}
Loi de composition des accélérations :
a
R
=
a
R
′
′
+
a
e
+
a
c
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{\mathcal {R}}={\boldsymbol {a}}'_{{\mathcal {R}}'}+{\boldsymbol {a}}_{\rm {e}}+{\boldsymbol {a}}_{\rm {c}}}
Poids :
P
=
m
g
{\displaystyle {\boldsymbol {P}}=m{\boldsymbol {g}}}
Interaction électromagnétique entre deux particules séparées par une distance d:
F
1
→
2
=
q
1
q
2
4
d
2
π
ε
0
{\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{1\rightarrow 2}={\frac {q_{1}q_{2}}{4d^{2}\pi \varepsilon _{0}}}}
Interaction gravitationnelle entre deux corps séparés par une distance d:
F
1
→
2
=
−
G
m
1
m
2
1
d
2
{\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{1\rightarrow 2}=-Gm_{1}m_{2}{\frac {1}{d^{2}}}}
Tension d'un ressort de raideur k et d'allongement u :
F
=
−
k
u
{\displaystyle {\boldsymbol {F}}=-k{\boldsymbol {u}}}
Frottement fluide :
F
=
−
λ
v
{\displaystyle {\boldsymbol {F}}=-\lambda {\boldsymbol {v}}}
Force d'inertie d'entraînement :
f
i
e
=
−
m
a
e
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{e}}}=-m{\boldsymbol {a}}_{e}}
Force d'inertie de Coriolis:
f
i
c
=
−
m
a
c
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{c}}}=-m{\boldsymbol {a}}_{c}}
Vecteur quantité de mouvement :
p
=
m
v
{\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}}
(en général)
Principe fondamental de la dynamique :
d
p
d
t
=
∑
F
+
f
i
e
+
f
i
c
{\displaystyle {\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {p}}}{{\text{d}}t}}=\sum {\boldsymbol {F}}\;+{\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{e}}}+{\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{c}}}}
Principe des actions réciproques : pour deux corps A et B ,
F
A
→
B
=
−
F
B
→
A
{\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{A\rightarrow B}=-{\boldsymbol {F}}_{B\rightarrow A}}
Travail élémentaire d'une force F lors d'un déplacement dr :
δ
W
=
F
⋅
d
r
{\displaystyle \delta W={\boldsymbol {F}}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {r}}}
Travail le long d'un chemin
Γ
A
B
{\displaystyle \Gamma _{AB}}
:
W
A
→
B
=
∫
r
∈
Γ
A
B
δ
W
(
r
)
=
∫
r
∈
Γ
A
B
F
⋅
d
l
(
r
)
{\displaystyle \displaystyle W_{A\rightarrow B}=\int _{{\boldsymbol {r}}\in \Gamma _{AB}}\delta W({\boldsymbol {r}})=\int _{{\boldsymbol {r}}\in \Gamma _{AB}}{\boldsymbol {F}}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {l}}({\boldsymbol {r}})}
Puissance :
P
=
δ
W
d
t
{\displaystyle {\mathcal {P}}=\displaystyle {\frac {\delta W}{{\text{d}}t}}}
On peut aussi définir la puissance comme étant le produit scalaire de la force appliquée au point M avec la vitesse du point :
P
=
F
⋅
v
{\displaystyle {\mathcal {P}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {v}}}
Énergie cinétique d'un point matériel :
E
c
=
1
2
m
|
v
|
2
{\displaystyle E_{\rm {c}}=\displaystyle {\frac {1}{2}}m|{\boldsymbol {v}}|^{2}}
Théorème de l'énergie cinétique :
Δ
E
c
=
∑
W
(
F
)
+
W
(
f
i
e
)
+
W
(
f
i
c
)
{\displaystyle \displaystyle \Delta E_{\rm {c}}=\sum W({\boldsymbol {F}})\;+W({\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{e}}})+W({\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{c}}})}
Énergie mécanique :
E
m
=
E
c
+
E
p
{\displaystyle E_{\rm {m}}=E_{\rm {c}}+E_{\rm {p}}}
Énergie potentielle pour quelques forces conservatives [ modifier | modifier le code ]
Chacune de ces énergies est définie à une constante près
Pesanteur :
E
p
=
m
g
z
{\displaystyle E_{\rm {p}}=mgz}
..., ceci pour
P
=
−
m
g
e
z
{\displaystyle {\boldsymbol {P}}=-mg{\boldsymbol {e}}_{z}}
Ressort :
E
p
=
1
2
k
|
u
|
2
{\displaystyle E_{\rm {p}}={\frac {1}{2}}k|{\boldsymbol {u}}|^{2}}
Force de Coulomb :
E
p
=
1
4
π
ε
0
q
1
q
2
|
r
1
−
r
2
|
{\displaystyle E_{\rm {p}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{|{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{2}|}}}
Gravitation :
E
p
=
−
G
m
1
m
2
|
r
1
−
r
2
|
{\displaystyle E_{\rm {p}}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{|{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{2}|}}}
Moment cinétique d'un point r par rapport à un point r' :
L
r
′
(
r
)
=
m
(
r
−
r
′
)
∧
v
(
r
)
{\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{{\boldsymbol {r}}'}({\boldsymbol {r}})=m({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')\wedge {\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {r}})}
Par rapport à un autre point r'' :
L
r
″
(
r
)
=
(
r
−
r
″
)
∧
m
v
(
r
)
=
L
r
′
(
r
)
+
m
(
r
′
−
r
″
)
∧
v
(
r
)
{\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{{\boldsymbol {r}}''}({\boldsymbol {r}})=({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'')\wedge m{\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {r}})={\boldsymbol {L}}_{{\boldsymbol {r}}'}({\boldsymbol {r}})+m({\boldsymbol {r}}'-{\boldsymbol {r}}'')\wedge {\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {r}})}
Moment d'une force F au point de rayon vecteur r' :
M
r
′
=
(
r
−
r
′
)
∧
F
{\displaystyle {\boldsymbol {M}}_{{\boldsymbol {r}}'}=({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')\wedge {\boldsymbol {F}}}
Par rapport à un autre point r'' :
M
r
″
(
r
)
=
M
r
′
(
r
)
+
(
r
′
−
r
″
)
∧
F
{\displaystyle {\boldsymbol {M}}_{{\boldsymbol {r}}''}({\boldsymbol {r}})={\boldsymbol {M}}_{{\boldsymbol {r}}'}({\boldsymbol {r}})+({\boldsymbol {r}}'-{\boldsymbol {r}}'')\wedge {\boldsymbol {F}}}
Théorème du moment cinétique :
d
L
r
′
d
t
=
∑
M
r
′
(
F
)
+
M
r
′
(
f
i
e
)
+
M
r
′
(
f
i
c
)
{\displaystyle {\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {L}}_{{\boldsymbol {r}}'}}{{\text{d}}t}}=\sum {\boldsymbol {M}}_{{\boldsymbol {r}}'}({\boldsymbol {F}})\;+{\boldsymbol {M}}_{{\boldsymbol {r}}'}({\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{e}}})+{\boldsymbol {M}}_{{\boldsymbol {r}}'}({\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{c}}})}
.
Équation différentielle de la forme :
d
2
u
d
t
2
+
ω
0
2
u
=
0
{\displaystyle {\frac {{\text{d}}^{2}u}{{\text{d}}t^{2}}}+\omega _{0}^{2}u=0}
.
Pulsation propre :
ω
0
2
=
k
m
{\displaystyle \omega _{0}^{2}={\frac {k}{m}}}
Période propre:
T
0
=
2
π
ω
0
{\displaystyle T_{0}=\displaystyle {\frac {2\pi }{\omega _{0}}}}
Solution sous la forme :
u
(
t
)
=
A
cos
(
ω
0
t
)
+
B
sin
(
ω
0
t
)
{\displaystyle u(t)=A\cos(\omega _{0}t)+B\sin(\omega _{0}t)}
.
Les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales.
Équation différentielle de la forme :
d
2
u
d
t
2
+
2
λ
d
u
d
t
+
ω
0
2
u
=
0
{\displaystyle {\frac {{\text{d}}^{2}u}{{\text{d}}t^{2}}}+2\lambda {\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}+\omega _{0}^{2}u=0}
Trois cas selon la valeur du discriminant de l'équation caractéristique :
Δ
=
4
(
λ
2
−
ω
0
2
)
{\displaystyle \Delta =4(\lambda ^{2}-\omega _{0}^{2})}
Δ
<
0
{\displaystyle \Delta <0}
, soit
λ
<
ω
0
{\displaystyle \lambda <\omega _{0}}
, alors
x
(
t
)
=
e
−
λ
t
[
A
cos
(
Ω
t
)
+
B
sin
(
Ω
t
)
]
{\displaystyle x(t)=e^{-\lambda t}\left[A\cos(\Omega t)+B\sin(\Omega t)\right]}
(régime pseudo-périodique)
Pseudo-pulsation :
Ω
=
ω
0
2
−
λ
2
{\displaystyle \Omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\lambda ^{2}}}}
;
Pseudo-période :
T
=
2
π
Ω
{\displaystyle T=\displaystyle {\frac {2\pi }{\Omega }}}
Δ
=
0
{\displaystyle \Delta =0}
, soit
λ
=
ω
0
{\displaystyle \lambda =\omega _{0}}
, alors
x
(
t
)
=
(
A
t
+
B
)
e
−
λ
t
{\displaystyle x(t)=(At+B)e^{-\lambda t}}
(régime critique)
Δ
>
0
{\displaystyle \Delta >0}
, soit
λ
>
ω
0
{\displaystyle \lambda >\omega _{0}}
, alors
x
(
t
)
=
e
−
λ
t
(
A
e
λ
2
−
ω
0
2
.
t
+
B
e
−
λ
2
−
ω
0
2
.
t
)
{\displaystyle x(t)=e^{-\lambda t}(Ae^{{\sqrt {\lambda ^{2}-\omega _{0}^{2}}}.t}+Be^{-{\sqrt {\lambda ^{2}-\omega _{0}^{2}}}.t})}
(régime apériodique )
Dans chaque cas, les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales.