Théorème de Routh
En géométrie euclidienne, le théorème de Routh exprime le rapport entre l'aire d'un triangle et celle du triangle formé par trois céviennes.
Énoncé[modifier | modifier le code]
Soit un triangle ABC. Trois céviennes issues des trois sommets coupent les côtés opposés en D, E, F, et découpent un triangle PQR.
Si l'on pose : , , , alors l'aire du triangle PQR est donnée par la formule :
- Remarque : si les céviennes sont concourantes, l'aire du triangle est nulle, et l'on retrouve le théorème de Ceva (xyz = 1).
- Application : si x = y = z = 2, le rapport est de 17, triangle central du partage du triangle en sept triangles de même aire.
Démonstration[modifier | modifier le code]
On applique le théorème de Ménélaüs au triangle ABD, coupé par la droite (CF) : . D'où .
L'aire du triangle AQC vaut
Par permutation circulaire, on obtient et .
L'aire du triangle PQR vaut donc :
Ou encore
Origine[modifier | modifier le code]
Ce théorème porte le nom du mathématicien anglais Edward Routh, professeur à l'université de Cambridge, plus connu pour ses travaux sur la stabilité des systèmes d'équations différentielles (cf. le critère de Routh-Hurwitz[1]).
Routh donne ce théorème en 1891 dans A Treatise of Analytical Statics[2], puis le reprend dans son édition de 1896[3], édition plus répandue à laquelle les mathématiciens se réfèrent.
Cependant, ce problème apparaît dès 1879 dans Solutions of the Cambridge Senate-House Problems and Riders for the year 1878[4], recueil d'exercices et de problèmes mathématiques destiné aux étudiants de Cambridge. La correction, donc la preuve du théorème, est due à J. W. L. Glaisher[5].
Autres démonstrations[modifier | modifier le code]
Ce problème a donné lieu à de nombreuses démonstrations, dont on trouvera des exemples et une bibliographie dans l'article de Murray S. Klamkin et A. Liu " Three more Proofs of Routh's Theorem" dans Crux Mathematicorum[6], , pages 199 et suivantes.
En 2011, Ayoub B. Ayoub publie une nouvelle preuve dans l'article "Routh's theorem revisited", Mathematical Spectrum [7].
Notes et références[modifier | modifier le code]
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Routh's theorem » (voir la liste des auteurs).
- « CAZIN, « OSCILLATEURS », Encyclopædia Universalis [en ligne] », sur universalis.fr (consulté le ).
- (en) A Treatise on Analytical Statics, (lire en ligne), p. 89.
- (en) A Treatise on Analytical Statics, (lire en ligne), p. 82.
- (en) Solutions of the Cambridge Senate-House Problems and Riders for the year 1878, (lire en ligne), p. 33, solution vii.
- Selon les indications données p. 29.
- (en) « Three more proofs of the Routh's theorem », sur Crux mathematicorum, (ISSN 0705-0348, consulté le ).
- (en) « Routh's theorem revisited », Mathematical spectrum, vol. 44, no 1, , p. 24 - Chemin d'accès au document par Google Drive Folder.
Bibliographie[modifier | modifier le code]
- (en) Murray S. Klamkin et A. Liu, « Three more proofs of Routh's theorem », Crux Mathematicorum, vol. 7, no 7, , p. 199–203 (lire en ligne).
- H. S. M. Coxeter (1969) Introduction to Geometry, énoncé p. 211, démonstration pp. 219–20, 2nd édition, Wiley, New York.
- (en) J. S. Kline et D. Velleman, « Yet another proof of Routh's theorem », Crux Mathematicorum, vol. 21, no 2, , p. 37–40 (lire en ligne)
- Routh's Theorem, Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project.
- (en) Eric W. Weisstein, « Routh's Theorem », sur MathWorld
- Routh’s Formula by Cross Products sur MathPages
- Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) «Routh's theorem revisited», Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.