Sous-espace projectif
En géométrie projective, un sous-espace projectif est une partie remarquable d'un espace projectif. Il est défini comme le projeté d'un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel associé. Contrairement à ce qui se passe en géométrie affine, il n'y a pas de phénomène de parallélisme, ce qui donne des propriétés simples d'incidence en termes de dimensions.
Définition[modifier | modifier le code]
On suppose que est un espace vectoriel, l'espace projectif associé et l'application de projection de sur .
Sous-espaces, dimension[modifier | modifier le code]
Si est un sous-espace vectoriel non réduit à , on peut encore définir l'espace projectif associé sur . On peut également considérer le sous-ensemble de formé par les tels que , c'est-à-dire l'image . Ces deux modes d'introduction sont équivalents et permettent de définir la notion de sous-espace projectif.
Lorsque le sous-espace vectoriel est de dimension k+1, on dit que le sous-espace projectif associé est de dimension k. Avec cette convention, les sous-espaces vectoriels de E de dimension k + 1 sont en correspondance bijective avec les sous-espaces projectifs de P(E) de dimension k[1]. En particulier on appellera droite projective de un sous-espace obtenu à partir d'un plan vectoriel de , mais hyperplan projectif tout sous-espace projectif défini à partir d'un hyperplan vectoriel.
Dans le cas où l'espace vectoriel est défini sur le corps des réels, est en fait une sous-variété de , effectivement de dimension k.
Sous-espace engendré par une partie[modifier | modifier le code]
Pour toute partie de on peut définir le sous-espace projectif engendré par , comme le plus petit sous-espace projectif de contenant ; on le notera .
Il correspond au sous-espace vectoriel engendré par l'image réciproque de par la projection canonique :
Opérations sur les sous-espaces projectifs[modifier | modifier le code]
Si et sont des sous-espaces projectifs de , l'intersection est un sous-espace projectif correspondant au sous-espace vectoriel de : .
D'autre part l'union de deux sous-espaces projectifs n'est pas en général un sous-espace projectif mais on peut considérer le sous-espace projectif engendré par et , qui correspond au sous-espace vectoriel somme : .
Propriétés d'incidence[modifier | modifier le code]
Les premières propriétés des espaces projectifs s'expriment en termes d' incidence : les résultats sont beaucoup plus clairs que dans le cas vectoriel.
Pour tout couple de sous-espaces projectifs de dimensions finies on a la relation fondamentale :
.
Alors que dans le cas d'un espace affine on a seulement inégalité (voir formule de Grassman).
Application fondamentale de ce résultat : si est un plan projectif, et si et sont des droites projectives, on obtient . Or l'espace somme est inclus dans , donc de dimension inférieure ou égale à 2. On obtient , c'est-à-dire que deux droites du plan projectif ont toujours au moins un point commun, le point à l'infini.
Autrement dit il n'y a pas de droites parallèles dans un plan projectif, et plus généralement pas de notion de parallélisme en géométrie projective. On voit ici le progrès par rapport à la géométrie affine : la géométrie projective va nous permettre d'éliminer de nombreux cas particuliers dus au parallélisme.
Notes et références[modifier | modifier le code]
- Michèle Audin, Géométrie, EDP Sciences, (lire en ligne), p. 179.