Moyenne de Seiffert

En analyse, les moyennes de Seiffert sont un genre de moyenne intermédiaires entre les moyennes géométrique et arithmétique.

Historique

Seiffert a défini ces moyennes en s'intéressant aux valeurs définissables comme moyenne contenue entre deux moyennes d'ordre p, comme la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique de deux nombres positifs.

Définitions

Dans les inégalités bornant les moyennes, M_p désigne la moyenne d'ordre p

Première moyenne de Seiffert

La première moyenne de Seiffert a été définie en 1993:

$P(a,b)={\begin{cases}{\dfrac {a-b}{2\arcsin \left({\frac {a-b}{a+b}}\right)}}={\dfrac {a-b}{4\arctan \left({\sqrt {\frac {a}{b}}}\right)-\pi }}&{\text{ si }}a\neq b,\\[4pt]a&{\text{ si }}a=b.\end{cases}}$

On a les encadrements suivants:

$L(a,b)\leqslant P(a,b)\leqslant I(a,b)$

$M_{1/2}(a,b)\leqslant P(a,b)\leqslant M_{2/3}(a,b)$

$M_{\ln(2)/\ln(\pi )}(a,b)\leqslant P(a,b)$

Deuxième moyenne de Seiffert

La deuxième moyenne de Seiffert a été définie en 1993:

$T(a,b)={\begin{cases}{\dfrac {a-b}{2\arctan \left({\frac {a-b}{a+b}}\right)}}&{\text{ si }}a\neq b,\\[4pt]a&{\text{ si }}a=b.\end{cases}}$

On a les encadrements suivants:

$A(a,b)\leqslant T(a,b)\leqslant Q(a,b)$

$M_{\ln(2)/\ln(\pi /2)}(a,b)\leqslant T(a,b)\leqslant M_{5/3}(a,b)$

Généralisation

On parle de moyenne de type Seiffert ou moyenne de Seiffert généralisée pour les moyennes sous la forme:

$M_{g}(a,b)={\frac {a-b}{2g\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)}}$

pour toute fonction g vérifiant :

$\forall z\in [0;1[,\ {\frac {z}{1+z}}\leqslant g(z)\leqslant {\frac {z}{1-z}}$

On peut affirmer que la moyenne logarithmique est une moyenne de type Seiffert en remarquant que :

$L(a,b)={\frac {a-b}{\ln(a)-\ln(b)}}={\frac {a-b}{2\operatorname {artanh} \left({\frac {a-b}{a+b}}\right)}}$

Références

• (en) Alfred Witkowski, « Seiffert means in a triangle », Research report collection 7.4,‎ 2004 (lire en ligne)
• (en) Edward Neuman et József Sándor, « On the Schwab-Borchardt mean », Mathematica Pannonica, vol. 14, n^o 2,‎ 2003, p. 253-266 (lire en ligne).
• (en) Yuming Chu, Baoyu Liu et Miaokun Wang, « Refinements of bounds for the first and second Seiffert means », Journal of Mathematical Inequalities, vol. 7, n^o 4,‎ 2013, p. 659–668 (DOI 10.7153/jmi-07-60, lire en ligne)
• (en) Jozsef Sandor, « Trigonometric and Hyperbolic Inequalities », Classical Analysis and ODEs,‎ 2011 (DOI 10.48550/arXiv.1105.0859)
• (en) Yu-Ming Chu, Miao-Kun Wang et Ye-Fang Qiu, « Optimal two parameter bounds for the Seiffert mean », Classical Analysis and ODEs,‎ 2012 (DOI 10.48550/arXiv.1209.3351, lire en ligne)

Voir aussi

• Moyenne
• Inégalité arithmético-géométrique