Entropie différentielle

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L'entropie différentielle est un concept de la théorie de l'information qui étend le concept de l'entropie de Shannon aux lois de probabilités continues.

Définitions[modifier | modifier le code]

Pour une variable aléatoire $X$ avec une distribution de probabilité $f$ et définie sur un ensemble $\mathbb {X}$ , on définit l'entropie différentielle $h (x)$ par :

h(X)=-\int _{\mathbb {X} }f(x)\ln f(x)\,\mathrm {d} x.

Pour un couple de variables aléatoires $(X, Y)$ de loi jointe $f (x, y)$ , alors l'entropie différentielle conditionnelle de $X$ sachant $Y$ vaut :

h(X|Y)=-\int _{\mathbb {X} }\int _{\mathbb {Y} }f(x,y)\ln f(x|y)\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y.

Propriétés[modifier | modifier le code]

On a :

\forall (a,c)\in \mathbb {R} ^{*}\times \mathbb {R} ,h(aX+c)=h(X)+\ln(|a|)

L'entropie différentielle d'une loi continue peut être négative, contrairement à celle d'une loi discrète.
Majoration : Soit $X$ une variable aléatoire continue de variance $Var(X)$ . Alors on a

h(X)\leqslant {\frac {1}{2}}\ln(2\pi \mathrm {e} \mathrm {Var} (X)),

avec égalité si et seulement si $X$ suit une loi normale.

Entropie différentielle pour plusieurs distributions[modifier | modifier le code]

Dans le tableau qui suit, ${\textstyle \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }{\rm {e}}^{-t}t^{x-1}{\rm {d}}t}$ est la fonction gamma, ${\textstyle \psi (x)={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\ln \Gamma (x)={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}}$ est la fonction digamma, ${\textstyle \mathrm {B} (p,q)={\frac {\Gamma (p)\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)}}}$ est la fonction bêta, et $γ$ est la constante d'Euler-Mascheroni.

Table d'entropies différentielles de lois discrètes.
Distribution	Fonction de distribution de probabilités	Entropie
Loi uniforme discrète	$p(k)={\begin{cases}{\frac {1}{n}}&{\text{pour }}k\in \{1,2,\cdots ,n\}\\0&{\text{sinon}}\end{cases}}$	$\ln(n)$
Loi de Bernoulli	$p(k)=\left\{{\begin{array}{ll}q&{\mbox{pour }}k=0\\p&{\mbox{pour }}k=1\end{array}}\right.$	$-p\ln(p)-q\ln(q)$
Loi géométrique	$p(k)=(1-p)^{k-1}p\ {\text{pour }}k\geqslant 0$	${\frac {-q\ln q-p\ln p}{p}}$
Loi de Poisson^[1]	$p(k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\mathrm {e} ^{-\lambda }\ {\text{pour }}k\geqslant 0$	$-\lambda (\ln \lambda -1)+\mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {\ln(k!)\lambda ^{k}}{k!}}$
Loi binomiale	$p(k)={\binom {n}{k}}(1-p)^{k-1}p^{k}\ {\text{pour }}k\in \{0,1,\cdots ,n\}$	$-np\ln(p)-n(1-p)\ln(1-p)-\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(1-p)^{k-1}p^{k}\ln \left({\binom {n}{k}}\right)$

Table d'entropies différentielles de lois continues.
Distribution	Fonction de distribution de probabilités	Entropie
Loi uniforme continue	$f(x)={\frac {1}{b-a}}1\!\!1_{[a,b]}$	$\ln(b-a)\,$
Loi normale	$f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$	$\ln \left(\sigma {\sqrt {2\pi \,{\rm {e}}}}\right)$
Loi exponentielle	$f(x)=\lambda \exp \left(-\lambda x\right)$	$1-\ln \lambda \,$
Loi de Cauchy	$f(x)={\frac {\lambda }{\pi }}{\frac {1}{\lambda ^{2}+x^{2}}}$	$\ln(4\pi \lambda )\,$
Loi du χ²	$f(x)={\frac {1}{2^{n/2}\sigma ^{n}\Gamma (n/2)}}x^{{\frac {n}{2}}-1}\exp \left(-{\frac {x}{2\sigma ^{2}}}\right)$	$\ln 2\sigma ^{2}\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)-\left(1-{\frac {n}{2}}\right)\psi \left({\frac {n}{2}}\right)+{\frac {n}{2}}$
Distribution Gamma	$f(x)={\frac {x^{\alpha -1}\exp(-{\frac {x}{\beta }})}{\beta ^{\alpha }\Gamma (\alpha )}}$	$\ln(\beta \Gamma (\alpha ))+(1-\alpha )\psi (\alpha )+\alpha \,$
Loi logistique	$f(x)={\frac {{\rm {e}}^{-x}}{(1+{\rm {e}}^{-x})^{2}}}$	$2\,$
Statistique de Maxwell-Boltzmann	$f(x)=4\pi ^{-{\frac {1}{2}}}\beta ^{\frac {3}{2}}x^{2}\exp(-\beta x^{2})$	${\frac {1}{2}}\ln {\frac {\pi }{\beta }}+\gamma -{\frac {1}{2}}$
Distribution de Pareto	$f(x)={\frac {ak^{a}}{x^{a+1}}}$	$\ln {\frac {k}{a}}+1+{\frac {1}{a}}$
Loi de Student	$f(x)={\frac {(1+x^{2}/n)^{-{\frac {n+1}{2}}}}{{\sqrt {n}}\mathrm {B} ({\frac {1}{2}},{\frac {n}{2}})}}$	${\frac {n+1}{2}}\psi \left({\frac {n+1}{2}}\right)-\psi \left({\frac {n}{2}}\right)+\ln {\sqrt {n}}\,\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},{\frac {n}{2}}\right)$
Distribution de Weibull	$f(x)={\frac {c}{\alpha }}x^{c-1}\exp \left(-{\frac {x^{c}}{\alpha }}\right)$	${\frac {(c-1)\gamma }{c}}+\ln {\frac {\alpha ^{1/c}}{c}}+1$
Loi normale multidimensionnelle	$f_{X}(x_{1},\dots ,x_{N})=$ ${\frac {1}{(2\pi )^{N/2}\left\|\Sigma \right\|^{1/2}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}(x-\mu )^{\top }\Sigma ^{-1}(x-\mu )\right)$	${\frac {1}{2}}\ln \left[(2\pi {\rm {e}})^{N}\|\Sigma \|\right]$