Discussion:Théorème d'interversion série-intégrale

Préciser que le corps est R ou C, et même remplacer corps par espace vectoriel !

Ektoplastor

il est précisé dans l'article qu'il s'agit de fonctions à valeurs complexes

metre un ev à l'arrivée : évident quand il est de dim finie (par ex en raisonnant composante par composante) plein de pièges sinon

Jaclaf 23 novembre 2006 à 17:06 (CET)

Enoncé faux

L'énoncé du théorème est faux : il suffit de prendre $f_{j}(x)=\log _{2}(\log _{2}(1+\lfloor 2^{j}x\rfloor ))$ pour $j\geq 1$ et $x\in [1,2]$.

En effet, on a $f_{j}\geq 0$ et

$\sum _{j\geq 1}\left(\int _{1}^{2}f_{j}(x)\mathrm {d} x\right)=\sum _{j\geq 1}{\frac {1}{2^{j}}}\int _{2^{j}}^{2^{j+1}}\log _{2}(\log _{2}(1+\lfloor y\rfloor ))\mathrm {d} y=\sum _{j\geq 1}{\frac {1}{2^{j}}}\sum _{2^{j}\leq k<2^{j+1}}\log _{2}(\log _{2}(1+k))\leq \sum _{j\geq 1}{\frac {\log _{2}(2^{j}\log _{2}(1+2^{j+1}))}{2^{j}}}\leq C\sum _{j\geq 1}{\frac {j}{2^{j}}}<\infty$

Donc les hypothèses de l'énoncé sont satisfaites. En revanche,

$\sup _{j\geq 1}\,f_{j}(x)=\infty$ pour chaque $x\in [1,2],$

donc la somme n'a aucune chance de converger presque partout et encore moins son intégrale... Il y a sûrement des contre-exemples encore plus simples...

Par conséquent, il est nécessaire de supposer que la série des $f_{j}(x)$ est convergente presque partout ainsi qu'une domination des sommes partielles (par exemple).

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par 89.88.176.26 (discuter), le 23 janvier 2017 à 17:53‎.

L'énoncé est juste et se déduit facilement des théorèmes indiqués. $\prod _{2^{2}\leq k<2^{3}}\log _{2}(1+k)>2^{2}\log _{2}(1+2^{3})$. Anne, 22 h 38