Produit semi-direct

En théorie des groupes, le produit semi-direct permet de définir un groupe G à partir de deux groupes H et K, et généralise la notion de produit direct de deux groupes.

Produit semi-direct interne[modifier | modifier le code]

Un groupe G est produit semi-direct interne d'un sous-groupe normal H par un sous-groupe K^[1] si et seulement si l'une des définitions équivalentes suivantes est vérifiée :

$H\cap K=\{1\}{\text{ et }}G=HK$ (en d'autres termes, H et K sont compléments l'un de l'autre dans G) ;
$\forall g\in G,\exists !(h,k)\in H\times K,g=hk$ (tout élément de G s'écrit de manière unique comme produit d'un élément de H et d'un élément de K) ;
la restriction à K de la surjection canonique $G\to G/H$ est un isomorphisme entre $K$ et $G/H$ ;
la surjection canonique $G\to G/H\to 1$ se scinde par un morphisme $s$ tel que $s(G/H)=K$ .

La décomposition des éléments de G comme produit d'un élément de H et d'un élément de K est d'une certaine façon compatible avec la loi de composition du groupe. Soit en effet

g_{1}=h_{1}k_{1}{\text{ et }}g_{2}=h_{2}k_{2}

deux éléments de G ainsi décomposés. On a :

g_{1}g_{2}=h_{1}k_{1}h_{2}k_{2}=(h_{1}k_{1}h_{2}k_{1}^{-1})(k_{1}k_{2})

décomposé en un élément $h_{1}k_{1}h_{2}k_{1}^{-1}$ de H (on utilise ici le fait que H est normal), et un élément $k_{1}k_{2}$ de K.

Dans ce cas, le groupe K agit par conjugaison sur H, et le groupe G est donc isomorphe au produit semi-direct externe, c'est-à-dire au groupe défini par le produit cartésien de H par K muni de la loi :

(h_{1},k_{1})(h_{2},k_{2})=(h_{1}(k_{1}h_{2}k_{1}^{-1}),k_{1}k_{2})

Pour tout $k\in K$ , l'application

\quad f(k):H\to H:h\mapsto khk^{-1}

est un automorphisme de H. En outre, l'application

f:K\to {\text{Aut}}(H):k\mapsto f(k)

est un morphisme de groupes.

Produit semi-direct externe[modifier | modifier le code]

On est donc amené à poser la définition plus générale suivante. Deux groupes, $H$ et $K$ , et un morphisme $f$ de $K$ dans le groupe ${\rm {Aut}}(H)$ des automorphismes de $H$ , étant donnés, on peut définir le produit semi-direct externe $G$ de $H$ et $K$ suivant $f$ comme le produit cartésien de $H$ et $K$ muni de la loi de groupe :

(h_{1},k_{1})(h_{2},k_{2})=(h_{1}f(k_{1})(h_{2}),k_{1}k_{2})~

où l'inverse d'un élément $\left(h,k\right)$ est $\left(f(k^{-1})(h^{-1}),\ k^{-1}\right)$ .

On peut injecter $H$ dans $G$ par l'injection canonique $h\ \mapsto \ (h,e_{K})$ , et injecter $K$ dans $G$ par l'injection canonique $k\ \mapsto \ (e_{H},k)$ . On vérifie alors que $G$ est le produit semi-direct interne de $H$ par $K$ au sens donné en début d'article. Sous ces identifications, on vérifie également que l'automorphisme $f(k)$ est l'automorphisme de conjugaison par $k$ . On note

G=H\rtimes _{f}K

ou tout simplement

G=H\times _{f}K

.

Le cas où $f$ est le morphisme trivial de groupe (i.e. $f(k_{1})(h_{2})=h_{2}$ ) correspond au produit direct.

Soient H, H₁, K, K₁ des groupes, f un morphisme de H dans Aut(K), f₁ un morphisme de H₁ dans Aut(K₁). Alors f et f₁ peuvent être vus respectivement comme des actions (à gauche) de H sur K et de H₁ sur K₁ par automorphismes. Si ces actions sont quasi équivalentes (comme actions par automorphismes), les produits semi-directs

H\rtimes _{f}K

et

H_{1}\rtimes _{f_{1}}K_{1}

sont des groupes isomorphes^[2].

Exemples[modifier | modifier le code]

Le groupe diédral D_2n est le produit semi-direct d'un groupe cyclique C_n d'ordre n par un groupe cyclique C₂ d'ordre 2, où l'unité de C₂ agit sur C_n comme l'application identique et l'autre élément de C₂ agit sur C_n par inversion^[3]. Explicitement, le morphisme $f$ de C₂ dans Aut(C_n) est défini par :si $C_{n}=\langle x\rangle$ et $C_{2}=\langle y\rangle$ , alors $\forall k\in \{0;1;2;\dots ;n-1\},f(1)(x^{k})=x^{k},f(y)(x^{k})=x^{-k}.$ Géométriquement, le groupe C_n est engendré par une rotation, le groupe C₂ par une réflexion.
Le groupe affine est le produit semi-direct du groupe additif formé de l'espace vectoriel E sous-jacent à l'espace affine (isomorphe au groupe des translations), par le groupe linéaire de cet espace vectoriel. Si on identifie l'espace affine à son espace vectoriel E, un élément f du groupe affine est de la forme $f(v)=u+\varphi (v)$ où $\varphi$ est un élément du groupe linéaire et u un vecteur de E. f est donc défini par la donnée du couple $(u,\varphi )$ . La composée des applications affines se traduira alors par la loi de groupe suivante :

(u,\varphi )(v,\psi ):=(u+\varphi (v),\varphi \circ \psi )

.

En particulier, le groupe des isométries affines est le produit semi-direct du groupe des translations par le groupe des isométries laissant invariant un point donné.
Le groupe symétrique est le produit semi-direct du groupe alterné par le groupe engendré par une transposition^[4].
Le groupe linéaire sur un anneau commutatif R est le produit semi-direct du groupe spécial linéaire (des endomorphismes de déterminant 1) par le groupe R^× des éléments inversibles de R.
L'holomorphe d'un groupe G peut être défini comme le produit semi-direct de G par Aut(G) (groupe des automorphismes de G) relativement à l'opération naturelle de Aut(G) sur G.

Groupe dérivé[modifier | modifier le code]

Le groupe dérivé D(G) d'un produit semi-direct G = H⋊K est égal au sous-groupe (D(H)[H, K])⋊D(K)^[5].

En effet, D(G) est le sous-groupe engendré par la réunion des trois sous-groupes D(H), [H, K] (inclus dans H) et D(K), or l'ensemble produit D(H)[H, K] est un sous-groupe de H, stable par l'action de K donc par celle du sous-groupe D(K).

Notes et références[modifier | modifier le code]

↑
C'est cette convention sur les deux prépositions « de » et « par » qui est choisie dans :
- Josette Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 191 ;
- (en) Joseph J. Rotman (en), An Introduction to the Theory of Groups, Springer, 1999 (tirage corrigé), 4^e éd. [détail de l’édition] (lire en ligne), p. 167 ;
- (en) Michael Aschbacher, Finite Group Theory, CUP, 2000, 2^e éd. (1^re éd. 1993), 304 p. (ISBN 978-0-521-78675-1, lire en ligne), p. 30 ;
- (en) William R. Scott, Group Theory, Dover, 1987 (1^re éd. 1964) (lire en ligne), p. 213.
Mais d'autres auteurs choisissent la convention inverse, en écrivant qu'alors, G est produit semi-direct du sous-groupe K par le sous-groupe normal H :
- N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chap. I, § 6, p. I.64 ;
- Jean Fresnel, Groupes, Hermann, 2001, p. 24.
↑ Voir Aschbacher 2000, p. 30, énoncé 10.3.
↑ Voir Aschbacher 2000, p. 141.
↑ Voir par exemple cet exercice corrigé du cours de théorie des groupes sur Wikiversité.
↑ (en) Daciberg Lima Gonçalves et John Guaschi, « The lower central and derived series of the braid groups of the sphere », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 361,‎ 2009, p. 3375-3399 (lire en ligne) (Proposition 3.3), arXiv:math/0603701 (Proposition 29).