Variété parallélisable

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher


Une variété différentielle M de classe Ck est dite parallélisable si son fibré tangent est trivial, c'est-à-dire isomorphe, en tant que fibré vectoriel, à M\times E, où E est un espace vectoriel de dimension  dim \,M

Il revient au même de dire qu'il existe un espace vectoriel E et une forme différentielle \omega \in \Lambda ^{1} \left( M^{*} , E \right) = \{ \omega : TM \longrightarrow E \text{ , de classe  }C^{k-1} \text{et linéaire sur chaque  } T_x M \} telle que pour tout  x \in M  , \omega _x : T_xM \longrightarrow  E est un isomorphisme d'espaces vectoriels ;

ou encore qu'il existe n champs de vecteurs linéairement indépendants en tout point de M, autrement dit un champ de repères.

Un isomorphisme de fibrés vectoriels entre TM et M\times \mathbb{R}^{dimM} s'appelle un parallèlisme.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Comme toute variété est localement difféomorphe à \mathbb{R}^n, pour tout point de la variété M il existe un voisinage ouvert qui, considéré comme une sous-variété, est parallélisable.
Il s'agit donc d'une propriété globale.

Une variété parallélisable est orientable : un champ de repères fournit gratuitement une orientation.

Si elle est compacte, sa caractéristique d'Euler-Poincaré est nulle, d'après le théorème de Poincaré-Hopf.


Exemples et contre-exemples[modifier | modifier le code]

Le tore de dimension 2, muni de la structure de variété habituelle, est parallélisable. C'est la seule variété compacte de dimension 2 parallélisable, puisque c'est la seule surface orientable de caractéristique d'Euler-Poincaré nulle.

La sphère de dimension 2, munie de la structure de variété habituelle, n'est pas parallélisable, d'après le théorème de Poincaré-Hopf, ou plus simplement d'après le théorème de la boule chevelue, qui assure que tout champ de vecteurs sur S^2 admet un zéro au moins.

Tout groupe de Lie est une variété parallélisable ; c'est en particulier le cas de la 3-sphère, en tant que groupe des unités des quaternions.

L'exemple de S^3 est commun à deux situations plus générales :

les seules sphères parallélisables sont S^1,\,S^3\  \text{et}\ S^7[1] ;

toute variété orientable de dimension 3 est parallélisable.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. R. Bott and J. Milnor, On the parallelizability of spheres, Bull. Amer. Math. Soc. 64(1958), 87-89

Sources[modifier | modifier le code]

  • Paul Malliavin, Géométrie différentielle intrinsèque, Hermann Éditeur, 1972
  • Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles, EDP Sciences, 2015, p. 113-115.