Variété parallélisable

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Une variété différentielle M de classe Ck est dite parallélisable si son fibré tangent est trivial, c'est-à-dire isomorphe, en tant que fibré vectoriel, à , où est un espace vectoriel de dimension

Il revient au même de dire qu'il existe un espace vectoriel E et une forme différentielle telle que pour tout , est un isomorphisme d'espaces vectoriels ;

ou encore qu'il existe champs de vecteurs linéairement indépendants en tout point de M, autrement dit un champ de repères.

Un isomorphisme de fibrés vectoriels entre et s'appelle un parallèlisme.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Comme toute variété est localement difféomorphe à , pour tout point de la variété M il existe un voisinage ouvert qui, considéré comme une sous-variété, est parallélisable.
Il s'agit donc d'une propriété globale.

Une variété parallélisable est orientable : un champ de repères fournit gratuitement une orientation.

Si elle est compacte, sa caractéristique d'Euler-Poincaré est nulle, d'après le théorème de Poincaré-Hopf.


Exemples et contre-exemples[modifier | modifier le code]

Le tore de dimension 2, muni de la structure de variété habituelle, est parallélisable. C'est la seule variété compacte de dimension 2 parallélisable, puisque c'est la seule surface orientable de caractéristique d'Euler-Poincaré nulle.

La sphère de dimension 2, munie de la structure de variété habituelle, n'est pas parallélisable, d'après le théorème de Poincaré-Hopf, ou plus simplement d'après le théorème de la boule chevelue, qui assure que tout champ de vecteurs sur admet un zéro au moins.

Tout groupe de Lie est une variété parallélisable ; c'est en particulier le cas de la 3-sphère, en tant que groupe des unités des quaternions.

L'exemple de est commun à deux situations plus générales :

les seules sphères parallélisables sont [1] ;

toute variété orientable de dimension 3 est parallélisable.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. R. Bott and J. Milnor, On the parallelizability of spheres, Bull. Amer. Math. Soc. 64(1958), 87-89

Sources[modifier | modifier le code]

  • Paul Malliavin, Géométrie différentielle intrinsèque, Hermann Éditeur, 1972
  • Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles, EDP Sciences, 2015, p. 113-115.