Utilisateur:TorkMattar/Brouillon

En théorie des ensembles, le principe diamant, noté $\diamondsuit$, est un principe combinatoire introduit par Ronald Jensen en 1972. Ce principe est indépendant de ZFC, l'axiomatique usuelle de la théorie des ensembles.

C'est une conséquence de l'axiome de de constructibilité

Définitions

Le principe diamant $\diamondsuit$ est l'énoncé suivant :

Il existe une suite $(A_{\alpha })_{\alpha <\omega _{1}}$ avec $A_{\alpha }\subseteq \alpha$ pour tout $\alpha <\omega _{1}$, telle que pour tout $A\subseteq \omega _{1}$, l'ensemble $\{\alpha <\omega _{1}|A\cap \alpha =A_{\alpha }\}$ est stationnaire.

Une autre formulation, en remplaçant les ensembles par leur fonction caractéristique est la suivante :

Il existe une suite $(f_{\alpha })_{\alpha <\omega _{1}}$ où $f_{\alpha }:\alpha \rightarrow \{0,1\}$ pour tout $\alpha <\omega _{1}$, et telle que pour toute fonction $f:\omega _{1}\rightarrow \{0,1\}$, l'ensemble $\{\alpha <\omega _{1}|f\upharpoonright \alpha =f_{\alpha }\}$ est stationnaire.

Une suite vérifiant cette propriété est appelé une suite diamant ou une $\diamondsuit$-suite.

Intuitivement, cet énoncé signifie qu'il existe une suite capable de deviner tous les sous-ensembles de $\omega _{1}$ : en tronquant une partie $A$ de $\omega _{1}$ à un niveau $\alpha$, on obtient $A_{\alpha }$ pour un ensemble de $\alpha$ non-négligeable.

Ronald Jensen introduit ce principe en 1972, il prouve que c'est une conséquence de l'axiome de constructibilité et qu'il implique l'existence de droite de Souslin. Le principe diamant a également pour conséquence l'hypothèse du continu.

Cohérence

Jensen