Utilisateur:Nabolsi/Brouillon

Énoncé

Soient :

• $(H_{1},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{1})\times (H_{2},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{2})$ des espace de Hilbert réel ;
• $B:H_{1}\times H_{2}\rightarrow {\mathcal {R}}$ une forme bilinéaire (ou une forme sesquilinéaire si ${\mathcal {H}}$ est complexe) qui est :
  • continue sur ${\mathcal {H}}\times {\mathcal {H}}$ : $\exists \,c>0,\forall (u,v)\in {\mathcal {H}}^{2}\,,\ |a(u,v)|\leq c\|u\|\|v\|$,
  • coercive sur ${\mathcal {H}}$ (certains auteurs disent plutôt ${\mathcal {H}}$-elliptique) : $\exists \,\alpha >0,\forall u\in {\mathcal {H}}\,,\ a(u,u)\geq \alpha \|u\|^{2}$ ;
• $L(.)$ une forme linéaire continue sur ${\mathcal {H}}$.

Sous ces hypothèses, il existe un unique $u$ de ${\mathcal {H}}$ tel que l'équation $a(u,v)=L(v)$ soit vérifiée pour tout $v$ de ${\mathcal {H}}$ :

$(1)\quad \exists !\ u\in {\mathcal {H}},\ \forall v\in {\mathcal {H}},\quad a(u,v)=L(v)$

Si de plus la forme bilinéaire $a$ est symétrique, alors $u$ est l'unique élément de ${\mathcal {H}}$ qui minimise la fonctionnelle $J:{\mathcal {H}}\rightarrow \mathbb {R}$ définie par $J(v)={\tfrac {1}{2}}a(v,v)-L(v)$ pour tout $v$ de ${\mathcal {H}}$, c'est-à-dire :

$(2)\quad \exists !\ u\in {\mathcal {H}},\quad J(u)=\min _{v\in {\mathcal {H}}}\ J(v)$

Démonstration

Cas général

Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires continues, il existe un vecteur $f\in {\mathcal {H}}$ tel que

$\forall v\in {\mathcal {H}},\quad L(v)=\langle f,v\rangle .$

Par application de ce même théorème aux formes bilinéaires continues, il existe un endomorphisme linéaire continu $A\in {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})$ tel que

$\forall u,v\in {\mathcal {H}},\quad a(u,v)=\langle Au,v\rangle .$

La proposition $(1)$ se réécrit alors :

$\exists !\ u\in {\mathcal {H}},\ Au=f.$

Pour prouver cette proposition, il suffit donc de montrer que $A$ est une bijection de ${\mathcal {H}}$ sur ${\mathcal {H}}$. On montre dans un premier temps que l'opérateur est injectif, puis qu'il est surjectif.

Par la coercivité de $a$ et en appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a pour tout $v\in {\mathcal {H}}$

$\alpha \|v\|^{2}\leq a(v,v)=\langle Av,v\rangle \leq \|Av\|\|v\|$

d'où $\|Av\|\geq \alpha \|v\|$ pour tout $v$ de ${\mathcal {H}}$, ce qui montre que $A$ est injectif et d'image fermée. Notons ${\mathcal {Z}}$ cette image. Par le théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé on sait que ${\mathcal {H}}={\mathcal {Z}}\oplus {\mathcal {Z}}^{\perp }$.

Soit ensuite un élément $w$ de ${\mathcal {Z}}^{\perp }$, on a par définition $\langle Aw,w\rangle =0$ et donc :

$\alpha \|w\|^{2}\leq a(w,w)=\langle Aw,w\rangle =0$

d'où $w=0$. Ainsi, ${\mathcal {Z}}^{\perp }$ est réduit à $\{0\}$, ce qui montre que $A$ est surjectif.

L'endomorphisme $A$ est bijectif, il existe donc un unique $u$ de ${\mathcal {H}}$ tel que $Au=f$ et il est donné par $u=A^{-1}f$.

Remarque

Sans calculer $u$ on a l'inégalité

$\|u\|\leq {\frac {\|L\|'}{\alpha }}$

où $\|\cdot \|'$ désigne la norme de l'espace dual ${\mathcal {H}}'$.

Cas symétrique

Si la forme bilinéaire $a$ est symétrique, on a pour tout $w$ de ${\mathcal {H}}$ :

$J(u+w)=J(u)+{\Big (}a(u,w)-L(w){\Big )}+{\frac {1}{2}}a(w,w)$

Comme $u$ est l'unique solution de la proposition (1), cela donne

$J(u+w)=J(u)+{\frac {1}{2}}a(w,w)$

Et comme $a$ est coercive, on a :

$J(u+w)\geq J(u)+{\frac {\alpha }{2}}\|w\|^{2}$