Utilisateur:Na Sodium/Théorie des ensembles de Zermelo

La théorie des ensembles de Zermelo, telle que décrite dans un document important écrit par Ernst Zermelo en 1908, est l'ancêtre de la théorie des ensembles moderne. Elle comporte certaines différences par rapport à ses descendants, qui ne sont pas toujours comprise, et sont souvent déformées. Cet article décrit les axiomes originaux, avec le texte original (traduit en anglais) et la numérotation originale.

Axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo

Les axiomes de Zermelo sont exprimés pour un modèle dont certains (mais pas nécessairement tous) objets sont appelés ensembles, et les objets restants sont des urelements et ne contiennent pas d'éléments. Le langage de Zermelo comprend implicitement de la relation d'appartenance ∈, une relation d'égalité = (si elle n'est pas incluse dans la logique sous-jacente), et un prédicat unaire disant si un objet est un ensemble ou non. Les versions ultérieures de la théorie des ensembles partent souvent du principe que tous les objets sont des ensembles, donc il n'y a pas d'urelements et il n'y a pas besoin du prédicat unaire.

AXIOME I. Axiome d'extensionnalité (Axiom der Bestimmtheit) "Si chaque élément d'un ensemble M est aussi un élément de N et vice versa ... alors M = N. Brièvement, chaque ensemble est déterminé par ses éléments."

AXIOME II. Axiome des séries élémentaires (Axiom der Elementarmengen) "Il existe un ensemble, appelé l'ensemble vide, noté ∅, qui ne contient aucun élément. Si a est un objet quelconque du domaine, il existe un ensemble {a} contenant a et seulement a an tant qu'élément. Si a et b sont deux objets quelconques du domaine, il existe toujours un ensemble {a, b} contenant les éléments a et b , mais pas un objet x distinct de tous les deux." Voir Axiome de la paire.

AXIOME III. Axiome de séparation (Axiom der Aussonderung) "Chaque fois que la fonction propositionnelle –(x) est définie pour tous les éléments d'un ensemble M, M possède un sous-ensemble M' contenant comme éléments précisément tous les éléments x de M pour lesquels –(x) est vrai".

AXIOME IV. Axiome de l'ensemble des parties (Axiom der Potenzmenge) "Pour chaque ensemble T, il existe un ensemble T', l'ensemble des parties de l'ensemble T, qui contient comme éléments précisément l'ensemble des sous-ensembles de T ."

AXIOME V. Axiome de la réunion (Axiom der Vereinigung) "Pour chaque ensemble T il existe un ensemble ∪T, la réunion de T, qui contient comme éléments précisément tous les éléments des ensembles éléments de l'ensemble T ."

AXIOME VI. Axiome du choix (Axiom der Auswahl) "Si T est un ensemble dont les éléments sont des ensembles qui sont différents de ∅ et mutuellement disjoints, alors son union ∪T comprend au moins un sous-ensemble S₁ ayant un et un seul élément en commun avec chaque élément de T ."

AXIOM VII. Axiome de l'infini (Axiom des Unendlichen) "Il existe dans le domaine au moins un ensemble Z qui contient l'ensemble vide comme élément et est constitué de telle sorte que, pour chacun de ses éléments a, il existe un élément supplémentaire de la forme {a}. En d'autres termes, avec chacun de ses éléments a, il contient également l'ensemble correspondant {a} comme élément."

Relation avec la théorie des ensembles standard

La théorie des ensembles la plus largement utilisée et acceptée est connu sous le nom de ZFC, c'est-à-dire la  théorie des ensembles Zermelo–Fraenkel à laquelle on ajoute  l'axiome du choix. Les liens montrent où les axiomes de la théorie de Zermelo correspondent. Il n'y a pas de correspondance exacte pour les "ensembles élémentaires". (Il a été montré plus tard que le singleton peut être dérivé à partir de ce qui est maintenant appelé l'"axiome de la paire". Si a existe, a et a existent, donc {a,a} existe. (Par l'extensionnalité {a,a} = {a}.) L'axiome de l'ensemble vide est déjà assumé par l'axiome de l'infini, et en fait désormais partie.

Les axiomes ne comprennent pas l'axiome de régularité et de l'axiome de remplacement. Ils ont été ajoutés en résultat d'un travail de Thoralf Skolem en 1922, basé sur des travaux antérieurs par Abraham Fraenkel durant la même année.

Dans le système moderne de ZFC, la "fonction propositionnelle" désigné dans l'axiome de séparation est interprété comme "tout propriété définissable par une formule de premier ordre avec des paramètres", de sorte que l'axiome de séparation est remplacé par un schéma d'axiomes. La notion de "formule de premier ordre" n'était pas connue en 1904 quand Zermelo a publié son système d'axiomes, et plus tard, il a rejeté cette interprétation comme trop restrictive. La théorie des ensembles de Zermelo est généralement considérée comme une théorie de premier ordre avec l'axiome de séparation remplacé par un schéma d'axiomes avec un axiome pour chaque formule de premier ordre. Il peut également être considéré comme une théorie de logique du second ordre, où l'axiome de séparation est un seul axiome. L'interprétation de second ordre de la théorie des ensembles de Zermelo est probablement plus proche de la propre conception de Zermelo, et est plus forte que l'interprétation de premier ordre.

Dans la hiérarchie cumulative habituelle V_α de la théorie des ensembles ZFC (pour les ordinaux α), tout ensemble V_α pour α un ordinal limite plus grand que le premier ordinal infini ω (comme V_ω·2) constitue un modèle de la théorie des ensembles de Zermelo. Donc la cohérence de la théorie des ensembles de Zermelo est un théorème de la théorie des ensembles ZFC. Les axiomes de Zermelo n'impliquent pas l'existence de ℵ_ω ou de cardinaux infinis plus grands, car le modèle V_ω·2 ne contient pas un tel cardinal. (Les cardinaux doivent être définis différemment dans la théorie des ensembles de Zermelo, comme la définition usuelle des cardinaux et des ordinaux ne fonctionne pas très bien : avec la définition habituelle, il n'est même pas possible de prouver l'existence de l'ordinal ω2.)

L'axiome de l'infini est désormais généralement modifié pour affirmer l'existence du premier  ordinal infini de von Neumann ${\displaystyle }$. Les axiomes originaux de Zermelo ne peuvent pas prouver l'existence de cet ensemble, de même que la modification des axiomes de Zermelo ne peut prouver l'axiome de l'infini de Zermelo. Les axiomes de Zermelo (originaux ou modifiés) ne peuvent pas prouver l'existence de ${\displaystyle }$ en tant qu'un ensemble ni aucun rang de la hiérarchie cumulative d'ensembles un index infini.

La théorie de Zermelo permet l'existence d'urelements qui ne sont pas des ensembles et ne contiennent pas d'éléments; ces sont maintenant souvent omis, à partir des théories.

Théorie des ensembles de Mac Lane

La théorie des ensembles de Mac Lane, présenté par Modèle:Harvs, est la théorie des ensembles de Zermelo avec l'axiome de séparation restreint aux formules de premier ordre, dans lesquelles chaque quantificateur est borné. La théorie des ensembles de Mac Lane est similaire en force avec la théorie des topos avec un objet nombre naturel, ou avec le système du Principia mathematica. Elle est assez solide pour supporter presque tous les  mathématiques ordinaires n'étant pas directement lié à la théorie des ensembles ou la logique.

But des écrits de Zermelo

L'introduction dit que l'existence même de la discipline de la théorie des ensembles "semble être menacé par certaines contradictions ou "antinomies", qui peuvent être dérivées à partir de ses principes – principes qui régissent nécessairement notre façon de penser, il semble – et à qui aucune solution pleinement satisfaisante n'a encore été trouvé". Zermelo fait bien sûr référence au "paradoxe de Russell".

Zermelo dit qu'il veut montrer comment la théorie originelle de Georg Cantor et Richard Dedekind peut être réduite à quelques définitions et les sept principes ou axiomes. Il signale qu'il n'a pas été en mesure de prouver que les axiomes sont cohérents les uns avec les autres.

Un argument non-constructiviste en faveur de leur non-contradiction va comme suit. Définir V_α pour α un des ordinaux 0, 1, 2, ...,ω, ω+1, ω+2,..., ω·2 comme suit :

• V₀ est l'ensemble vide.
• Pour α un successeur de la forme β+1, V_α est la collection de tous les sous-ensembles de V_β.
• Pour α une limite (par exemple, ω, ω·2), alors V_α est défini comme la réunion de V_β pour β<α.

Alors les axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo sont compatibles les uns avec les autres parce qu'ils sont vrais dans le modèle V_ω·2. Alors qu'un non-constructiviste pourrait considérer cela comme un argument valable, un constructiviste ne le ferait probablement pas: bien qu'il n'y ait pas de problèmes avec la construction des ensembles jusqu'à V_ω, la construction de V_ω+1 est moins évidente, car on ne peut pas définir de manière constructive chaque sous-ensemble de V_ω. Cet argument peut être transformé en une preuve valide de la théorie des ensembles de Zermelo–Frenkel, mais cela n'aide pas vraiment parce que la cohérence de la théorie des ensembles de Zermelo–Frenkel est moins claire que la cohérence dede la théorie des ensembles de Zermelo.

Axiome de séparation

Zermelo écrit que c'est l'axiome III de son système qui permet l'élimination des antinomies. Cet axiome diffère de la définition d'origine de Cantor :

Les ensembles ne peuvent pas être définis indépendamment par une quelconque notion arbitraire et logiquement définissable. Ils doivent être construits à partir d'ensembles déjà construits. Par exemple, ils peuvent être construits à partir d'ensembles de parties d'un ensemble, ou ils peuvent être séparés en sous-ensembles d'ensembles déjà "donnés". Ceci, dit-il, élimine les notions contradictoires comme "l'ensemble de tous les ensembles" ou "l'ensemble de tous les nombres ordinaux".

Zermelo se débarrasse du paradoxe de Russell par le biais de ce théorème: "Tout ensemble $M$ possède au moins un sous-ensemble $M_{0}$ qui n'est pas un élément de $M$". Soit $M_{0}$ le sous-ensemble de $M$ lequel, par l'AXIOME III, est séparé par la notion "$x\notin x$". Alors $M_{0}$ ne peut pas être dans $M$. Car

1. Si $M_{0}$ est dans $M_{0}$, alors $M_{0}$ contient un élément x pour lequel x est dans x (i.e. $M_{0}$ lui-même), ce qui est absurde étant donné la définition de $M_{0}$.
2. Si $M_{0}$ n'est pas dans $M_{0}$, en supposant que $M_{0}$ est un élément de M, alors $M_{0}$ est un élément de M qui remplit la condition "$x\notin x$", et est donc dans $M_{0}$ ce qui est une contradiction.

Par conséquent, l'hypothèse que $M_{0}$ est dans $M$ est fausse, ce qui prouve le théorème. Donc il existe des objets du domaine universel B qui ne peuvent pas être des éléments d'un seul et même ensemble. "Cela neutralise de le paradoxe de Russel en ce qui nous concerne".

Il reste le problème du "domaine B", qui semble se référer à quelque chose. Cela a conduit à la notion d'une classe propre.

Théorème de Cantor

Les écrits de Zermelo sont remarquables pour ce qui est peut-être la première mention explicite du théorème de Cantor. Cependant, Zermelo n'a strictement recours qu'aux notions de théorie des ensembles, et n'est donc pas identique que l'Argument de la diagonale de Cantor.

Théorème de Cantor: "Si M est un ensemble quelconque, alors on a toujours M < P(M) [l'ensemble des parties de l'ensemble M]. Chaque ensemble est de plus faible cardinalité que l'ensemble de ses sous-ensembles".

Zermelo le prouve en considérant une fonction φ: M → P(M). Par l'axiome III, cela définit l'ensemble M' :

M' = {m| m ∉ φ(m)}.

Mais aucun élément m' de M ne pourrait correspondre à M' , c'est à dire tel que φ(m') = M' . Sinon, on pourrait construire une contradiction:

1) Si m' est dans M' alors, par définition, m' ∉ φ(m' ) = M' , qui est la première partie de la contradiction

2) Si m' n'est pas dans M' , mais bien dans M alors, par définition, m' ∉ M' = φ(m' )  ce qui, par définition, implique que m' est dans M' , ce qui est la deuxième partie de la contradiction.

donc, par contradiction, m' n'existe pas. On remarque la ressemblance de cette preuve avec la façon dont Zermelo dispose du paradoxe de Russell.

Voir aussi

• S (théorie des ensembles)

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Zermelo set theory » (voir la liste des auteurs).
• Mac Lane, Saunders (1986), Mathematics, form and function, New York: Springer-Verlag, (ISBN 0-387-96217-4), MR 0816347
• Zermelo, Ernst (1908), "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I", Mathematische Annalen, 65 (2): 261–281, doi:10.1007/bf01449999. English translation: Heijenoort, Jean van (1967), "Investigations in the foundations of set theory", From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, Source Books in the History of the Sciences, Harvard Univ. Press, pp. 199–215, (ISBN 978-0-674-32449-7).