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en mathématiques, une fonction à dérivée faible est une généralisation du concept de la dérivée d'une fonction (dérivée forte) pour les fonctions non supposées Différentiable, mais seulement intégrables,c'est à dire se situer dans l'espace L^p espace $L^{1}([a,b])$. voir distributions pour une définition plus générale.

Définition

soit $u$ une fonction dans l'espace Lebesgue $L^{1}([a,b])$. on dit que $v$ dans $L^{1}([a,b])$ est un dérivé faible de $u$ si,

$\int _{a}^{b}u(t)\varphi '(t)dt=-\int _{a}^{b}v(t)\varphi (t)dt$

pour toute fonction infiniment différentiable $\varphi$ avec $\varphi (a)=\varphi (b)=0$. Cette définition est motivée par la technique d'intégration d'intégration par pièces.

Généraliser aux dimensions $n$ , si $u$ et $v$ sont dans l'espace $L_{loc}^{1}(U)$ des fonctions localement intégrables pour certains ensembles ouverts $U\subset \mathbb {R} ^{n}$, et si $\alpha$ est un multi-index, on dit que $v$ est le $\alpha ^{th}$-dérivée faible de $u$ si

$\int _{U}uD^{\alpha }\varphi =(-1)^{|\alpha |}\int _{U}v\varphi ,$

pour tout $\varphi \in C_{c}^{\infty }(U)$, c’est-à-dire pour toutes les fonctions infiniment différentiables $\varphi$ avec support compact dans $U$. ici $D^{\alpha }\varphi$ est défini comme

$\qquad D^{\alpha }\varphi ={\frac {\partial ^{|\alpha |}\varphi }{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\dots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}.$

si $u$ a une dérivée faible , il est souvent écrit $D^{\alpha }u$ puisque les dérivées faibles sont uniques (au moins, jusqu'à un ensemble de mesure zéro, voir ci-dessous).

Exemples

• la fonction valeur absolue u : [−1, 1] → [0, 1], u(t) = |t|, qui n'est pas différentiable à t = 0, a une dérivée faible v connu sous le nom de fonction de signe donné par

$v\colon [-1,1]\to [-1,1];\quad t\mapsto v(t)={\begin{cases}1,&{\mbox{si }}t>0;\\0,&{\mbox{si }}t=0;\\-1,&{\mbox{si }}t<0.\end{cases}}$

Ce n'est pas la seule dérivée faible de u: tout w égal à v presque partout est aussi un dérivée faible de u. Ce n’est généralement pas un problème, car dans la théorie de l'espace L^p espace et des espaces Sobolev, les fonctions qui sont égaux presque partout sont identifiés.

• La fonction caractéristique des nombres rationnels $1_{\mathbb {Q} }$ n'est nulle part différentiable, mais sa dérivée est faible. Puisque la mesure de Lebesgue des nombres rationnels est zéro,

$\int 1_{\mathbb {Q} }(t)\varphi (t)dt=0.$

ainsi $v(t)=0$ est la dérivée faible de $1_{\mathbb {Q} }$. Notez que ceci est en accord avec notre intuition puisque considéré comme membre d'un espace, $1_{\mathbb {Q} }$ est identifié avec la fonction zéro.

• la fonction cantor c n'a pas de dérivée faible, bien qu'elle soit différentiable presque partout. En effet, toute dérivée faible de c devrait être égal presque partout au dérivé classique de c, qui est égal à zéro presque partout. Mais la fonction zéro n'est pas une dérivée faible de c, comme le montre la comparaison avec une fonction de test appropriée $\varphi$. Plus théoriquement, c n'a pas de dérivée faible car sa dérivée de distribution, à savoir la distribution de Cantor, est une mesure singulière et ne peut donc pas être représenté par une fonction.

Propriétés

Si deux fonctions sont des dérivées faibles de la même fonction, elles sont égales sauf sur un ensemble avec mesure de Lebesgue zéro, c'est-à-dire qu'elles sont égales presque partout. Si nous considérons classes d'équivalence de fonctions telles que deux fonctions sont équivalentes si elles sont égales presque partout, alors la dérivée faible est unique.

aussi,si u est différentiable au sens classique alors son dérivé faible est identique (au sens donné ci-dessus) à sa dérivée classique (fort). Ainsi, la dérivée faible est une généralisation du puissant. De plus, les règles classiques pour les dérivés de sommes et les produits de fonctions valent également pour le dérivé faible.

Extensions

Ce concept donne lieu à la définition de solution faible dans les espace de Sobolev, qui sont utiles pour les problèmes d'équations différentielles et dans l'analyse fonctionnelle.

Références

• (en) D. Gilbarg et N. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Berlin, Springer, 2001 (ISBN 3-540-41160-7), p. 149
• (en) Evans, Lawrence C., Partial differential equations, Providence, R.I., American Mathematical Society, 1998 (ISBN 0-8218-0772-2), p. 242
• (en) Knabner, Peter et Angermann, Lutz, Numerical methods for elliptic and parabolic partial differential equations, New York, Springer, 2003 (ISBN 0-387-95449-X), p. 53

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