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Les instabilités géométriques se produisent dans le domaine de la statique des constructions soumises à des charges lentement croissantes^[1].

Principe[modifier | modifier le code]

Une instabilité est une modification soudaine de la réponse d’une structure soumise à une charge statique augmentant progressivement. Lors d’une instabilité, les structures donnent l’impression de se dérober sous leurs charges.

Exemple 1[modifier | modifier le code]

Considérons un poteau stabilisé par un ressort en tête (Fig. 2). Il est relativement massif et est soumis à une force de compression axiale F croissante. Pour de faibles valeurs de F, la déformation du poteau est axiale. Lorsque F atteint une valeur dite charge critique, le ressort de tête s’écrase et l’ensemble prend la déformation de la fig. 3.

L’équilibre moment calculé au pied du poteau (point A) nous donne la charge critique :

F_{crit}*x-K*x*H=0

soit :

F_{crit}=K*H

Où K est la raideur du ressort et H la hauteur du poteau.

Remarquons :

La charge critique dépend des paramètres de la géométrie (ici K et H) et pas de la qualité des matériaux (que l’ensemble soit en acier, en béton ou en un autre matériau, Fcrit est la même). Nous parlerons d' instabilité géométrique.
A la charge critique, nous assistons à une bifurcation c’est-à-dire à un changement de mode de déformation.

Exemple 2[modifier | modifier le code]

Considérons la même structure que précédemment mais avec un poteau beaucoup plus élancé (par exemple, parce qu’il a une section plus faible), ou un ressort beaucoup plus raide. (Fig.4) Pour de faibles valeurs de F, la déformation est une compression axiale du poteau. Lorsque F atteint une valeur dit charge critique, le poteau se déforme dans le plan perpendiculaire à son axe (Fig. 5). On dit que le poteau « flambe ». La charge critique est donnée par la formule d’Euler :

$F_{crit}={\frac {\pi ^{2}\cdot E\cdot I}{H^{2}}}$

Où

E = le module de Young du matériau
I = l’inertie du poteau
H = la hauteur du poteau

Remarquons :

A la charge critique, la déformation dans le poteau ne dépend pas du matériau utilisé: Divisons Fcrit par la section et par le module de Young. Nous obtenons une déformation critique

${\varepsilon }_{crit}={\frac {\pi ^{2}\cdot I}{A\cdot H^{2}}}$ (où A est la section du poteau) dépendant de la géométrie seulement .

D’une façon générale :

C’est la plus petite des charges critiques des exemples 1 et 2 qui déterminera le mode d’instabilité réel de la structure.^[2]
Les structures élancées ^[3] sont plus sensibles à l’instabilité que les structures massives. En ce sens, les constructions métalliques sont plus souvent concernées que les constructions en béton.

Les charges peuvent être d’origine mécanique ou thermique.
Les charges à l’origine des instabilités sont presque toujours des forces de compression. ^[4]

Exemple 3[modifier | modifier le code]

D’une manière générale, on essaye d’éviter les instabilités et leurs effets néfastes. Voici cependant un exemple d’utilisation positive.

L’acteur de cinéma Charlie Chaplin se promène souvent avec l’aide d’une canne en jonc. Au départ, celle-ci est rectiligne. Quand l’acteur s’appuie légèrement, elle reste rectiligne et soutient son effort. S’il s’appuie plus fortement, elle prend une forme ’’courbe’’ et s’avère incapable de soutenir l’acteur. Cela peut aller jusqu’à la chute… pour la plus grande joie des petits et des grands. L’acteur a ainsi popularisé une forme d’instabilité, c'est-à-dire que lorsque la force appliquée (ici la poussée de l’acteur) atteint une certaine valeur, la structure (ici la canne) change subitement de géométrie et devient incapable de soutenir la charge.

Un peu de vocabulaire[modifier | modifier le code]

L' instabilité géométrique est le terme général couvrant le phénomène. Divers termes plus précis permettent de qualifier le comportement des structures :

Bifurcation : Une bifurcation intervient lorsqu'une petite augmentation des charges produit un changement majeur dans le mode de déformation de la structure. C’est le comportement théorique pour l’instabilité d’une structure parfaite (sans défaut de forme). Voir fig. 3 et 5.
Charge critique : Charge correspondant au début de l’instabilité.
Claquage : A sa charge critique, la structure passe brusquement d’un état d’équilibre à un autre qui lui est fortement éloigné. Le chemin parcouru entre ces deux équilibres stables passe par des positions d’équilibre instable. Il s'agit d’un mouvement dynamique. Les claquages concernent principalement les arcs et les coques.

Comportement post-critique : Comportement de la structure si elle est chargée au-delà de sa charge critique.
Déversement :Le déversement est une instabilité affectant les poutres et surtout les poutrelles utilisées en construction métallique. Un moment de flexion sollicitant une poutre correspond à une traction dans une semelle et à une compression dans l’autre. Si la semelle comprimée atteint sa charge critique et flambe latéralement, toute la poutre se déverse comme si elle était soumise localement à un moment de torsion.

Article détaillé : Déversement.

Divergence : Une divergence se produit pour les structures possédant des défauts de forme. Lors de la mise en charge, ce défaut croit perpendiculairement à l’axe (ou au plan) de référence de la structure. La forme de la structure diverge de plus en plus de la forme au repos.
Flambement : Le flambage ou flambement est la bifurcation d'un poteau soumis à un effort normal de compression atteignant la charge critique. Il fléchit et se déforme dans une direction perpendiculaire à l'axe de compression. Voir fig. 5.

Article détaillé : Flambage.

Instabilité élastique ou plastique : Une instabilité est dite élastique quand elle se produit pour des contraintes inférieures à la limite élastique du matériau. Elle est dite plastique si ces contraintes dépassent cette limite élastique.

Article détaillé : Déformation élastique.

Article détaillé : Déformation plastique.

Mode de flambement : Forme que prend la structure lorsque l’instabilité commence.
Voilement : Le voilement (ou cloquage ) est une instabilité des plaques et des coques qui se manifeste par des boursoufflures perpendiculaires à la plaque ou à la coque.

Détermination des charges critiques[modifier | modifier le code]

En dehors de quelques cas simples que l’on peut traiter « manuellement» (comme l’exemple 1), les calculs de charge critique sont souvent longs et complexes. L’aide les programmes informatique est souvent indispensable ! Remarquons que, à la charge critique, un léger surcroît de charge induit des déplacements très importants. En d’autres termes, la raideur tangente s’annule.^[5] On utilisera donc des méthodes mathématiques permettant d’isoler les conditions d’annulation de la raideur^[6], ou des méthodes exprimant la conservation de l'égergie.^[7]

Effets des imprécisions ou défauts de forme[modifier | modifier le code]

Les études théoriques donnent la charge critique des structures considérées comme parfaites (c'est-à-dire des poutres bien droites et de section constante, des plaques uniformément planes,…). Les structures réelles sont cependant loin de cette perfection idéale et présentent des défauts de géométrie (variation locale de l’épaisseur, ovalisation, distance entre la ligne neutre théorique et réelle, discontinuité au droit des soudures…). Ces défauts influencent la charge critique. Certaines structures sont particulièrement sensibles à la présence d’un défaut de forme. C’est, par exemple, le cas des cylindres chargés selon leur axe. ^[8]

Comment éviter les instabilités ?[modifier | modifier le code]

Pour éviter une instabilité, le constructeur dispose de plusieurs moyens :

Diminuer la taille des imprécisions et des défauts de forme
Augmenter les épaisseurs, ce qui augmente d’autant le poids de la structure
Prévoir des raidisseurs^[9]. (Cas des plaques et coques, par exemple pour les réservoirs métalliques…)
Prévoir des contreventements. (Cas fréquent en construction métallique, par exemple pour les pylônes en treillis supportant les lignes électriques…)

Historique[modifier | modifier le code]

L’instabilité des colonnes idéales comprimées a été découverte par Leonhard Euler en 1744. En son honneur, la formule correspondante a gardé son nom ^[10]. En 1892, le mathématicien Alexandre Liapounov introduit la notion de stabilité de Lyapunov pour les systèmes dynamiques. Ce théorème très général couvre également le cas spécifique des systèmes statiques.^[11]

Ces dernières années, les structures sont de plus en plus légères et élancées. Les développements informatiques permettent aux constructeurs de les utiliser au plus près de leur charge critique ^[12].

Codes et Réglements[modifier | modifier le code]

La stabilité des constructions exige de se prémunir contre les diverses instabilités possibles. Plusieurs règlements donnent des critères d’acceptation pour les structures concernées :

Les Eurocodes développés par le Comité européen de normalisation (CEN) ^[13], et plus spécifiquement l’Eurocode 3: Calcul des structures en acier (EN 1993),^[14]
Voilement des coques – Recommandations de la CECM (Convention Européenne de la Construction Métallique) ^[15]
(en) American Society of Mecanical Engineers (ASME) ^[16] : Boiler and pressure vessel code, section VIII division 1 : Design and fabrication of pressure vessels

Notes et références[modifier | modifier le code]

↑ Cet article ne couvre pas le domaine des forces très rapidement appliquées (chocs ou impacts) ni celui des charges variables en sens divers (dynamique)
↑ Pour certaines valeurs de la raideur K du ressort, une combinaison des deux modes de ruine peut se produire.
↑ leur longueur comprimée est grande par rapport à leur épaisseur, ou plus précisément par rapport à leur rayon de giration
↑ Il existe de rares cas ou la traction est à l’origine d’une instabilité – voir par exemple http://ssmg.ing.unitn.it/tensile_buckling.html
↑ La raideur tangente est la raideur calculée compte tenu des déplacements déjà obtenus pour la charge considérée
↑ Méthode d’évolution pas à pas où méthodes aux valeurs propres (voirValeur propre (synthèse))
↑ Concernant les méthodes énergétiques, voir par exemple (en)Energy method
↑ CECM : Convention Européenne de la Construction Métallique, Buckling of Steel Shells – European recommendations - Bruxelles 1988 (en)
↑ Raidisseur = profilé métallique soudé et judicieusement positionné
↑ voir Liste des sujets nommés d'après Leonhard Euler
↑ »Flambage élastique et plastique des coques minces », cours de l’Institut pour la Promotion des Sciences de l’Ingénieur (IPSI), Paris, avril 1982- Articles de J. Mézière et J. Devos
↑ voir par exemple {en} « Buckling of shells – Pitfall for designers » David Bushnell, Lockheed Palo Alto Research Laboratory, Palo Alto, Calif. ; in AIAA Journal Vol 19, N° 9, september 1981
↑ http://www.cen.eu
↑ http://eurocodes.fr/fr/eurocode3.html
↑ La Construction Métallique N° 4 –décembre 1981
↑ www.asme.org

Bibliographie[modifier | modifier le code]

: document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

«Flambage élastique et plastique des coques minces », cours de l’Institut pour la Promotion des Sciences de l’Ingénieur (IPSI), Paris, avril 1982
«Flambage des coques minces », cours de l’Institut pour la Promotion des Sciences de l’Ingénieur (IPSI), Paris, avril 1986
«Résistance des Matériaux » - Charles Massonnet – Sciences et Lettres - Liège - 1960
«Grandes Déformations et Instabilité des Structures », Elie Absi, in Annales de l’Institut Technique du Bâtiment et des Travaux Publics, n° 469 Novembre 1988, Paris
«Théorie de la stabilité élastique » S. Timoshenko – Librairie Polytechnique Béranger, Paris et Liège
(en) «Structures or why things don’t fall » J.E. Gordon – Penguin Books -1978
(en) «Buckling of shells – Pitfall for designers » David Bushnell, Lockheed Palo Alto Research Laboratory, Palo Alto, Calif. ; in AIAA Journal Vol 19, N° 9, september 1981

Liens externes[modifier | modifier le code]

Université Libre de Bruxelles : Cours d’instabilités :http://homepages.ulb.ac.be/~pbouilla/cours/II-14-instabilites.pdf
Centre d'Enseignement et de Recherche de l'Ecole Nationale Supérieure d'Arts et Métiers de Cluny, Flambement des éléments réels de structure : http://www.mmaya.fr/Insta/amphi/Texte-6-7.htm
(en) University of Colorado Boulder – Cours d’Eléments Finis :http://www.colorado.edu/engineering/CAS/courses.d/NFEM.d/NFEM.Ch01.d/NFEM.Ch01.pdf

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Portail du bâtiment et des travaux publics

Catégorie:Bâtiment Catégorie:Génie civil Catégorie:Construction Catégorie:Résistance des matériaux Catégorie:Mécanique des milieux continus

[1] Cet article ne couvre pas le domaine des forces très rapidement appliquées (chocs ou impacts) ni celui des charges variables en sens divers (dynamique)

[2] Pour certaines valeurs de la raideur K du ressort, une combinaison des deux modes de ruine peut se produire.

[3] ur longueur comprimée est grande par rapport à leur épaisseur, ou plus précisément par rapport à leur rayon de giration

[4] Il existe de rares cas ou la traction est à l’origine d’une instabilité – voir par exemple http://ssmg.ing.unitn.it/tensile_buckling.html

[5] La raideur tangente est la raideur calculée compte tenu des déplacements déjà obtenus pour la charge considérée

[6] Méthode d’évolution pas à pas où méthodes aux valeurs propres (voirValeur propre (synthèse))

[7] Concernant les méthodes énergétiques, voir par exemple (en)Energy method

[8] CECM : Convention Européenne de la Construction Métallique, Buckling of Steel Shells – European recommendations - Bruxelles 1988 (en)

[9] Raidisseur = profilé métallique soudé et judicieusement positionné

[10] voir Liste des sujets nommés d'après Leonhard Euler

[11] »Flambage élastique et plastique des coques minces », cours de l’Institut pour la Promotion des Sciences de l’Ingénieur (IPSI), Paris, avril 1982- Articles de J. Mézière et J. Devos

[12] voir par exemple {en} « Buckling of shells – Pitfall for designers » David Bushnell, Lockheed Palo Alto Research Laboratory, Palo Alto, Calif. ; in AIAA Journal Vol 19, N° 9, september 1981

[13] ttp://www.cen.eu

[14] ttp://eurocodes.fr/fr/eurocode3.html

[15] La Construction Métallique N° 4 –décembre 1981

[16] www.asme.org

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