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Bac à sable

Étude de la réflexion et de la réfraction par l'approche ondulatoire.

Le coefficient de réflexion sur une surface dépend de l'orientation du champ électrique.

${\overrightarrow {k}}\wedge {\overrightarrow {E}}=c{\overrightarrow {B}}$

$E=c\,B={\frac {c_{0}}{n}}B={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon \,\mu }}}B=Z\,H={\sqrt {\frac {\mu }{\varepsilon }}}H$

La composante tangentielle du champ électrique ${\overrightarrow {E}}$ (1) et la composante tangentielle du champ magnétique ${\overrightarrow {H}}={\frac {\overrightarrow {B}}{\mu }}$ (2) doit être continue de part et d'autre de la frontière formée par le dioptre. La composante normale de $\varepsilon {\overrightarrow {E}}$ et la composante normale de ${\overrightarrow {B}}=\mu {\overrightarrow {H}}$ est continue de part et d'autre de la frontière.

Cas 1 : champ électrique perpendiculaire au plan d'incidence.

En projetant sur le plan tangent à la surface,

(1) donne ${E_{i_{\perp }}}+{E_{r_{\perp }}}={E_{t_{\perp }}}$ (3)

et (2) donne $-{\frac {B_{i}}{\mu _{i}}}\cos \theta _{i}+{\frac {B_{r}}{\mu _{r}}}\cos \theta _{r}=-{\frac {B_{t}}{\mu _{t}}}\cos \theta _{t}\Leftrightarrow -{\frac {E_{i_{\perp }}}{c_{i}\,\mu _{i}}}\cos \theta _{i}+{\frac {E_{r_{\perp }}}{c_{r}\,\mu _{r}}}\cos \theta _{r}=-{\frac {E_{t_{\perp }}}{c_{t}\,\mu _{t}}}\cos \theta _{t}$,

ce qui permet d'obtenir : $\left(E_{i_{\perp }}-E_{r_{\perp }}\right){\frac {n_{i}}{\mu _{i}}}\cos \theta _{i}=E_{t_{\perp }}{\frac {n_{t}}{\mu _{t}}}\cos \theta _{t}$ (4)

Pour trouver le coefficient de réflexion :

$\left(E_{i_{\perp }}-E_{r_{\perp }}\right){\frac {n_{i}}{\mu _{i}}}\cos \theta _{i}=\left(E_{i_{\perp }}+E_{r_{\perp }}\right){\frac {n_{t}}{\mu _{t}}}\cos \theta _{t}$

$r_{\perp }={\frac {E_{r_{\perp }}}{E_{i_{\perp }}}}={\frac {{\frac {n_{i}}{\mu _{i}}}\cos \theta _{i}-{\frac {n_{t}}{\mu _{t}}}\cos \theta _{t}}{{\frac {n_{i}}{\mu _{i}}}\cos \theta _{i}+{\frac {n_{t}}{\mu _{t}}}\cos \theta _{t}}}$.

$r_{\perp }={\frac {E_{r_{\perp }}}{E_{i_{\perp }}}}={\frac {{\frac {n_{i}}{\mu _{i}}}\cos \theta _{i}-{\frac {n_{t}}{\mu _{t}}}\cos \theta _{t}}{{\frac {n_{i}}{\mu _{i}}}\cos \theta _{i}+{\frac {n_{t}}{\mu _{t}}}\cos \theta _{t}}}$.

Pour trouver le coefficient de transmission :

$\left(2E_{i_{\perp }}-E_{t_{\perp }}\right){\frac {n_{i}}{\mu _{i}}}\cos \theta _{i}=E_{t_{\perp }}{\frac {n_{t}}{\mu _{t}}}\cos \theta _{t}$

$t_{\perp }={\frac {E_{t_{\perp }}}{E_{i_{\perp }}}}={\frac {2{\frac {n_{i}}{\mu _{i}}}\cos \theta _{i}}{{\frac {n_{i}}{\mu _{i}}}\cos \theta _{i}+{\frac {n_{t}}{\mu _{t}}}\cos \theta _{t}}}$

$t_{\perp }={\frac {E_{t_{\perp }}}{E_{i_{\perp }}}}={\frac {2{\frac {n_{i}}{\mu _{i}}}\cos \theta _{i}}{{\frac {n_{i}}{\mu _{i}}}\cos \theta _{i}+{\frac {n_{t}}{\mu _{t}}}\cos \theta _{t}}}$.

Cas 2 : champ électrique parallèle au plan d'incidence.

En projetant sur le plan tangent à la surface,

(1) donne ${E_{i_{\parallel }}}\cos \theta _{i}-{E_{r_{\parallel }}}\cos \theta _{r}={E_{t_{\parallel }}}\cos \theta _{t}$ (5)

et (2) donne ${\frac {B_{i}}{\mu _{i}}}+{\frac {B_{r}}{\mu _{r}}}={\frac {B_{t}}{\mu _{t}}}$ ce qui permet d'obtenir : $\left(E_{i_{\parallel }}+E_{r_{\parallel }}\right){\frac {n_{i}}{\mu _{i}}}=E_{t_{\parallel }}{\frac {n_{t}}{\mu _{t}}}$ (6).

Pour trouver le coefficient de réflexion :

${E_{t_{\parallel }}}=\left({E_{i_{\parallel }}}-{E_{r_{\parallel }}}\right){\frac {\cos \theta _{i}}{\cos \theta _{t}}}$

$\left(E_{i_{\parallel }}+E_{r_{\parallel }}\right){\frac {n_{i}}{\mu _{i}}}=\left({E_{i_{\parallel }}}-{E_{r_{\parallel }}}\right){\frac {\cos \theta _{i}}{\cos \theta _{t}}}{\frac {n_{t}}{\mu _{t}}}$

$\left(E_{i_{\parallel }}+E_{r_{\parallel }}\right){\frac {n_{i}}{\mu _{i}}}{\cos \theta _{t}}=\left({E_{i_{\parallel }}}-{E_{r_{\parallel }}}\right){\frac {n_{t}}{\mu _{t}}}{\cos \theta _{i}}$

$E_{i_{\parallel }}\left({\frac {n_{i}}{\mu _{i}}}{\cos \theta _{t}}-{\frac {n_{t}}{\mu _{t}}}{\cos \theta _{i}}\right)=E_{r_{\parallel }}\left({\frac {n_{i}}{\mu _{i}}}{\cos \theta _{t}}+{\frac {n_{t}}{\mu _{t}}}{\cos \theta _{i}}\right)$

$r_{\parallel }={\frac {E_{r_{\parallel }}}{E_{i_{\parallel }}}}={\frac {{\frac {n_{t}}{\mu _{t}}}\cos \theta _{i}-{\frac {n_{i}}{\mu _{i}}}\cos \theta _{t}}{{\frac {n_{t}}{\mu _{t}}}\cos \theta _{i}+{\frac {n_{i}}{\mu _{i}}}\cos \theta _{t}}}$.

$r_{\parallel }={\frac {E_{r_{\parallel }}}{E_{i_{\parallel }}}}={\frac {{\frac {n_{t}}{\mu _{t}}}\cos \theta _{i}-{\frac {n_{i}}{\mu _{i}}}\cos \theta _{t}}{{\frac {n_{t}}{\mu _{t}}}\cos \theta _{i}+{\frac {n_{i}}{\mu _{i}}}\cos \theta _{t}}}$.

Pour trouver le coefficient de transmission :

(5) permet d'écrire ${E_{r_{\parallel }}}={E_{i_{\parallel }}}-{E_{t_{\parallel }}}{\frac {\cos \theta _{t}}{\cos \theta _{i}}}$,

et (6) peut alors donner $\left(2E_{i_{\parallel }}-{E_{t_{\parallel }}}{\frac {\cos \theta _{t}}{\cos \theta _{i}}}\right){\frac {n_{i}}{\mu _{i}}}=E_{t_{\parallel }}{\frac {n_{t}}{\mu _{t}}}$,

ou encore $2E_{i_{\parallel }}{\frac {n_{i}}{\mu _{i}}}{\cos \theta _{i}}-{E_{t_{\parallel }}}{\frac {n_{i}}{\mu _{i}}}{\cos \theta _{t}}=E_{t_{\parallel }}{\frac {n_{t}}{\mu _{t}}}{\cos \theta _{i}}$

$t_{\parallel }={\frac {E_{r_{\parallel }}}{E_{i_{\parallel }}}}={\frac {2{\frac {n_{i}}{\mu _{i}}}\cos \theta _{i}}{{\frac {n_{t}}{\mu _{t}}}\cos \theta _{i}+{\frac {n_{i}}{\mu _{i}}}\cos \theta _{t}}}$

$t_{\parallel }={\frac {E_{r_{\parallel }}}{E_{i_{\parallel }}}}={\frac {2{\frac {n_{i}}{\mu _{i}}}\cos \theta _{i}}{{\frac {n_{t}}{\mu _{t}}}\cos \theta _{i}+{\frac {n_{i}}{\mu _{i}}}\cos \theta _{t}}}$.

Simplifications

Perméabilités magnétiques égales à celle du vide

Dans la plupart des cas en optique les matériaux ont une perméabilité magnétique égale à celle du vide : $\mu _{i}\approx \mu _{t}\approx \mu _{0}$. Alors les coeffcients de réflexion et de transmission, selon la polarisation, deviennent :

$r_{\perp }={\frac {n_{i}\cos \theta _{i}-n_{t}\cos \theta _{t}}{n_{i}\cos \theta _{i}+n_{t}\cos \theta _{t}}}$ et $r_{\parallel }={\frac {n_{t}\cos \theta _{i}-n_{i}\cos \theta _{t}}{n_{t}\cos \theta _{i}+n_{i}\cos \theta _{t}}}$,

$t_{\perp }={\frac {2\,n_{i}\cos \theta _{i}}{n_{i}\cos \theta _{i}+n_{t}\cos \theta _{t}}}$ et $t_{\parallel }={\frac {2\,n_{i}\cos \theta _{i}}{n_{t}\cos \theta _{i}+n_{i}\cos \theta _{t}}}$.

Polarisation circulaire

Si on considère que la polarisation de la lumière incidente est parfaitement circulaire,

${\overrightarrow {E_{i}}}=E_{i_{\perp }}{\overrightarrow {u_{\perp }}}+E_{i_{\parallel }}{\overrightarrow {u_{\parallel }}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}E_{i}{\overrightarrow {u_{\perp }}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}E_{i}{\overrightarrow {u_{\parallel }}}$,

alors

$E_{r}^{2}=r_{\perp }^{2}E_{i_{\perp }}^{2}+r_{\parallel }^{2}E_{i_{\parallel }}^{2}={\frac {1}{2}}E_{i}^{2}\left(r_{\perp }^{2}+r_{\parallel }^{2}\right)$.Les facteurs de réflexion et de transmission peuvent être exprimés :

$R={\frac {1}{2}}\left(r_{\perp }^{2}+r_{\parallel }^{2}\right)={\frac {1}{2}}\left({\frac {n_{i}\cos \theta _{i}-n_{t}\cos \theta _{t}}{n_{i}\cos \theta _{i}+n_{t}\cos \theta _{t}}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {n_{t}\cos \theta _{i}-n_{i}\cos \theta _{t}}{n_{t}\cos \theta _{i}+n_{i}\cos \theta _{t}}}\right)^{2}$,

$T={\frac {1}{2}}\left(t_{\perp }^{2}+t_{\parallel }^{2}\right)={\frac {1}{2}}\left({\frac {2\,n_{i}\cos \theta _{i}}{n_{i}\cos \theta _{i}+n_{t}\cos \theta _{t}}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {2\,n_{i}\cos \theta _{i}}{n_{t}\cos \theta _{i}+n_{i}\cos \theta _{t}}}\right)^{2}$.

Incidence normale

Dans le cas particulier d'une incidence normale, le plan d'incidence n'est plus définit ce qui n'a pas d'importance car les angles sont tous nuls $\theta _{i}=\theta _{r}=\theta _{t}=0$ ; ceci permet d'obtenir une expression simple des coefficients de réflexion et de transmission

$r_{\perp }=-r_{\parallel }={\frac {n_{i}-n_{t}}{n_{i}+n_{t}}}$ et $t_{\perp }=t_{\parallel }={\frac {2\,n_{i}}{n_{i}+n_{t}}}$,

et des facteurs de réflexion et de transmission quelle que soit la polarisation

$R=\left({\frac {n_{i}-n_{t}}{n_{i}+n_{t}}}\right)^{2}$ et $T=\left({\frac {2\,n_{i}}{n_{i}+n_{t}}}\right)^{2}$.

Optique matricielle

Incidence normale, couche unique

Au niveau du premier dioptre, sachant que :

(1) donne ${E_{0}}+{E_{0}^{'}}={E_{1}}+{E_{1}^{'}}$,

et (2) donne $\left({E_{0}}-{E_{0}^{'}}\right){n_{0}}=\left({E_{1}}-{E_{1}^{'}}\right){n_{1}}$,

On obtient :

${\binom {E_{0}(0)}{E_{0}^{'}(0)}}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+n_{1}/n_{0}&1-n_{1}/n_{0}\\1-n_{1}/n_{0}&1+n_{1}/n_{0}\end{pmatrix}}{\binom {E_{1}(0)}{E_{1}^{'}(0)}}=\mathbf {M} _{01}{\binom {E_{1}(0)}{E_{1}^{'}(0)}}$.

Le retard à l'intérieur de la couche 1 introduit :

${\binom {E_{1}(0)}{E_{1}^{'}(0)}}={\begin{pmatrix}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{1}d_{1}}&0\\0&\mathrm {e} ^{+\mathrm {i} k_{1}d_{1}}\end{pmatrix}}{\binom {E_{1}(d_{1})}{E_{1}^{'}(d_{1})}}=\mathbf {M} _{1}{\binom {E_{1}(d_{1})}{E_{1}^{'}(d_{1})}}$.

Ce qui donne pour l'ensemble dioptre et couche :

${\binom {E_{0}(0)}{E_{0}^{'}(0)}}=\mathbf {M} _{01}\mathbf {M} _{1}{\binom {E_{1}(d_{1})}{E_{1}^{'}(d_{1})}}$.

Au niveau du dernier dioptre :

${\binom {E_{1}(d_{1})}{E_{1}^{'}(d_{1})}}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+n_{s}/n_{1}&1-n_{s}/n_{1}\\1-n_{s}/n_{1}&1+n_{s}/n_{1}\end{pmatrix}}{\binom {E_{s}(d_{1})}{E_{s}^{'}(d_{1})}}=\mathbf {M} _{1s}{\binom {E_{s}(d_{1})}{E_{s}^{'}(d_{1})}}$,

avec $E_{s}^{'}=0$ car il n'y a pas de retour de la lumière à ce niveau,

${\binom {E_{0}(0)}{E_{0}^{'}(0)}}=\mathbf {M} _{01}\mathbf {M} _{1}\mathbf {M} _{1s}{\binom {E_{s}(d_{1})}{0}}$

Pour la longueur d'onde $\lambda _{0}$ ciblée

$d_{1}={\frac {\lambda _{0}}{4\,n_{1}}}$ de sorte que $k_{1}d_{1}=\pi /2$ et $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{1}d_{1}}=\mathrm {i}$

${\binom {E_{0}(0)}{E_{0}^{'}(0)}}={\frac {\mathrm {i} }{2}}{\begin{pmatrix}-(1+n_{1}/n_{0})&(1-n_{1}/n_{0})\\-(1-n_{1}/n_{0})&(1+n_{1}/n_{0})\end{pmatrix}}{\binom {E_{1}(d_{1})}{E_{1}^{'}(d_{1})}}$

${\binom {E_{1}(d_{1})}{E_{1}^{'}(d_{1})}}=\mathbf {M} _{1s}{\binom {E_{s}(d_{1})}{0}}={\frac {E_{s}(d_{1})}{2}}{\binom {1+n_{s}/n_{1}}{1-n_{s}/n_{1}}}$

${\binom {E_{0}(0)}{E_{0}^{'}(0)}}=-{\frac {\mathrm {i} \,E_{s}(d_{1})}{2}}{\binom {n_{s}/n_{1}+n_{1}/n_{0}}{n_{s}/n_{1}-n_{1}/n_{0}}}$

$r={\frac {E_{0}^{'}}{E_{0}}}={\frac {n_{s}/n_{1}-n_{1}/n_{0}}{n_{s}/n_{1}+n_{1}/n_{0}}}$

$R=\left({\frac {E_{0}^{'}}{E_{0}}}\right)^{2}=\left({\frac {n_{s}/n_{1}-n_{1}/n_{0}}{n_{s}/n_{1}+n_{1}/n_{0}}}\right)^{2}$

Le traitement est optimisé si $n_{s}/n_{1}=n_{1}/n_{0}\Leftrightarrow n_{1}={\sqrt {n_{0}\,n_{s}}}$.

Si $n_{0}=1$ pour l'air et $n_{s}=1{,}52$ pour le verre : $n_{1}=1{,}23$. MgF₂ : 1,38.

Incidence quelconque, polarisation circulaire

Au niveau du premier dioptre, sachant que :

(1) donne ${E_{0}}+{E_{0}^{'}}={E_{1}}+{E_{1}^{'}}$,

et (2) donne $\left({E_{0}}-{E_{0}^{'}}\right){n_{0}}\cos \theta _{0}=\left({E_{1}}-{E_{1}^{'}}\right){n_{1}}\cos \theta _{1}$,