Unité (chiffre)

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En arithmétique, on appelle unité[réf. souhaitée], ou chiffre des unités, le chiffre le plus à droite dans l'écriture d'un entier naturel, en base dix sauf précision contraire.

Exemple : le chiffre des unités du nombre 59 247 est 7 (le chiffre des dizaines est 4, celui des centaines 2, ...) ; le chiffre des unités de 2 est 2.

Propriétés générales[modifier | modifier le code]

Notons u(n) le nombre correspondant au chiffre des unités de l'entier n. Il est caractérisé par :

  • u(n) est l'unique entier compris entre 0 et 9 qui soit congru à n modulo 10 (en base b, on aurait la même caractérisation en remplaçant 9 par b – 1 et mod 10 par mod b).
    Par conséquent (pour tous entiers naturels m, n et k) :
  • u(m + n) = u(u(m) + u(n)) et u(mn) = u(u(m)u(n))
    donc (par récurrence sur k) :
  • u(nk) = u((u(n))k).

Propriété liée à la base dix[modifier | modifier le code]

Pour tous entiers naturels n et k, u(n4k + 1) = u(n).

En effet, n4k + 1 est congru à n mod 10 puisqu'il l'est mod 2 et mod 5 :

  • mod 2 c'est immédiat ;
  • mod 5 ça l'est aussi si n ≡ 0, 1 ou –1 mod 5 (on a même alors njn mod 5 pour tout entier naturel j impair) ;
  • enfin, si n ≡ ±2 mod 5, cela résulte du fait que modulo 5, (±2)4 = 42 ≡ (–1)2 = 1.

Il existe une généralisation en base b si b est un produit de nombres premiers distincts.