Triplet de nombres premiers

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En théorie des nombres, un triplet de nombres premiers n'est pas simplement un n-uplet de trois nombres premiers : on exige de plus que ces trois nombres soient « les plus proches possibles » les uns des autres, ce qui conduit considérer uniquement les triplets de la forme suivante :

(p, p + 2, p + 6) ou (p, p + 4, p + 6), les trois nombres étant premiers.

Une conjecture, renforçant celle des nombres premiers jumeaux, est l'existence d'une infinité de tels triplets.

Justification de la définition[modifier | modifier le code]

Si trois entiers sont de la forme n, n + 2, n + 4 avec n > 3, alors 3 est un diviseur strict de l'un des trois.

Par conséquent, parmi trois nombres premiers consécutifs, la distance entre le plus petit et le plus grand vaut toujours au moins 6, sauf pour les deux triplets (2, 3, 5) et (3, 5, 7).

C'est pourquoi l'usage mathématique, suivi dans cet article, réserve l'appellation « triplet de nombres premiers » aux triplets pour lesquels cette distance vaut exactement 6, donc aux triplets de l'une des deux formes annoncées en introduction.

Propriétés caractéristiques[modifier | modifier le code]

Un triplet de nombres premier contient à la fois :

Un nombre premier peut appartenir au maximum à trois triplets de nombres premiers ; par exemple : 103 appartient à (97, 101, 103), (101, 103, 107) et (103, 107, 109).

Dans ce cas, les cinq nombres premiers impliqués forment un quintuplet de nombres premiers.

Un quadruplet de nombres premiers (p, p + 2, p + 6, p + 8) contient deux tels triplets, imbriqués : (p, p + 2, p + 6) et (p + 2, p + 6, p + 8).

Liste[modifier | modifier le code]

Les triplets de nombres premiers inférieurs à 1 000 sont :

  • de 0 à 100, 9 occurrences : (5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41, 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103),
  • de 101 à 250, 7 occurrences : (101, 103, 107), (103, 107, 109), (107, 109, 113), (191, 193, 197), (193, 197, 199), (223, 227, 229), (227, 229, 233) ;
  • de 251 à 500, 6 occurrences : (277, 281, 283), (307, 311, 313), (311, 313, 317), (347, 349, 353), (457, 461, 463), (461, 463, 467) ;
  • de 501 à 1 000, 8 occurrences : (613, 617, 619), (641, 643, 647), (821, 823, 827), (823, 827, 829), (853, 857, 859), (857, 859, 863), (877, 881, 883), (881, 883, 887).

Record de taille[modifier | modifier le code]

Le premier triplet de nombres premiers géants a été découvert en 2008 par Norman Luhn et François Morain. Il est de la forme (p, p + 2, p + 6) avec p = 2 072 644 824 759 × 233 333 − 1.

Depuis avril 2013, le plus grand triplet de nombres premiers connu contient des nombres premiers de 16 737 chiffres (en base dix) et a été découvert par Peter Kaiser. Il est de la forme (p, p + 4, p + 6) avec p = 6 521 953 289 619 × 255 555 − 5[1].

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Prime triplet » (voir la liste des auteurs).

Liens externes[modifier | modifier le code]