Transversalité

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En algèbre linéaire et en géométrie différentielle, la propriété de transversalité est un qualificatif pour l'intersection de sous-espaces ou de sous-variétés. Elle est en quelque sorte l'opposé de la notion de tangence.

Deux sous-espaces vectoriels , d'un espace vectoriel sont dits transverses quand . Cette condition peut être réécrite, le cas échéant, en termes de codimension :

.

Deux sous-espaces affines , d'un espace affine sont dites transverses si leurs directions sont transverses, c'est-à-dire si

.

Deux sous-variétés et d'une variété différentielle sont dits transverses lorsque, pour tout point de , les espaces tangents et sont transverses dans l'espace tangent , c'est-à-dire si

Dans la suite, désignent les dimensions respectives de .

Remarques :

  • La définition reste valable pour les variétés banachiques.
  • Deux sous-variétés disjointes sont transverses.
  • Si , alors la condition de transversalité ne peut être vérifiée seulement si les sous-variétés et sont disjointes.

Théorème — Une intersection transverse et non vide est une sous-variété différentielle de dimension .

On a donc dans ce cas les relations

Par exemple, deux surfaces régulières de l'espace à trois dimensions sont transverses si et seulement si elles n'ont aucun point de tangence. Dans ce cas, leur intersection forme une courbe régulière (éventuellement vide).

Nombre d'intersection[modifier | modifier le code]

Généricité[modifier | modifier le code]

Théorème — Si et sont deux sous-variétés de classe () de dimensions respectives et , alors il existe un -difféomorphisme de , aussi proche de l'identité que souhaité en topologie , tel que intersecte transversalement .

En général, deux sous-variétés s'intersectent transversalement, quitte à perturber l'une d'elles par une isotopie.