Transformation par polaires réciproques

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En mathématiques, et plus précisément en géométrie, la transformation par polaires réciproques est une transformation associant à une courbe une autre courbe construite à l'aide des droites tangentes à la première. La courbe image s'appelle la courbe duale de la courbe de départ.

Points cocycliques, quadrilatère inscrit[modifier | modifier le code]

Soit un quadrilatère et l'intersection des diagonales.

Les quatre points sont cocycliques si et seulement si

Cocyclique.svg

Un produit scalaire symétrique[modifier | modifier le code]

PScal.svg

Notons l'intersection de deux des côtés du quadrilatère. On a

Apparition de la droite des tangentes[modifier | modifier le code]

HarmCercleBasiq.svg

Soit toujours un cercle, d'un point extérieur au cercle on mène les deux tangentes à . Soit les points de contact.

Si alors divise harmoniquement .

HarmCercle.svg

Le point d'intersection de avec toute corde issue de divise harmoniquement la corde.

divise harmoniquement

Polaire réciproque[modifier | modifier le code]

Cette droite possède donc les propriétés suivantes :

  1. Toute corde au cercle, issue d'un point extérieur à ce cercle, coupe cette droite en un point tel que divise harmoniquement ;
  2. Cette droite et l'ensemble des conjugués harmoniques de par rapport au cercle ;
  3. Pour tout point de cette droite, le cercle de diamètre est orthogonal au cercle de départ (cf. « Cercles orthogonaux ») ;
  4. Si est le centre du cercle,  ;
  5. Les intersections des diagonales de tous les quadrilatères complets issues de sont alignés et sont sur cette droite ;
  6. Si dans un repère centré au centre du cercle, le point a pour coordonnées , l'équation de cette droite est .

Définitions[modifier | modifier le code]

Définition : Étant donné un point et un cercle , on nomme polaire de par rapport à , l'ensemble des conjugués harmoniques de par rapport à .

Par conséquent si est extérieur au cercle, c'est la droite .

Réciproquement, toute droite du plan est la polaire d'un point unique nommé "pôle" de la droite.

Polaire et pôle sont reliés analytiquement par la relation : lorsque l'origine du plan est au centre du cercle.

Géométriquement, si la droite coupe le cercle, son pôle ne peut être que le point d'intersection des tangentes au cercle au point . Si la droite ne coupe pas le cercle, on projette le centre du cercle sur la droite en ; est alors le conjugué de par rapport au cercle, ou bien le projeté sur d'un point de contact d'une tangente à issue de , puisqu'il est alors sur la polaire de .

Intersection et alignement[modifier | modifier le code]

La « polarisation » échange les notions de droites concourantes et de droite passant par deux points.

Soit deux points (non alignés avec le centre du cercle); si désignent les polaires de ces points, alors est le pôle de la droite . (Si sont alignés avec on obtient le point à l'infini dans la direction perpendiculaire à ).

Soit deux droites, leur pôles alors la droite est la polaire du point .

Polaire d'une courbe[modifier | modifier le code]

Il y a deux façons naturelles de définir la polaire d'une courbe.

Ou bien à un point de la courbe on associe sa polaire puis l'on considère l'enveloppe de ces polaires ou bien on considère le lieu formé par les pôles des tangentes à la courbe. Ces deux notions coincident.

Soit une courbe du plan, la tangente a pour équation son pôle a donc pour coordonnées

et

La polaire du point a pour équation . L'enveloppe de cette famiille de droites est déterminée par les équations qui donne précis&ément les mêmes expressions que précédemment.

La « polarisation » échange donc les notions de point d'une courbe et de tangente à la courbe.

Polaire d'une conique[modifier | modifier le code]

La polaire d'une conique par rapport à un cercle centré en un foyer de la conique est un cercle centré au pôle de la directrice.'

Notes et références bibliographiques[modifier | modifier le code]

La notion de polarité est abondamment décrite dans les ouvrages du XIXe siècle, ou dans les tout récents qui suivent :

  • Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009 (ISBN 978-2-91-635208-4) ;
  • Bruno Ingrao, Coniques projectives, affines et métriques, Calvage & Mounet, 2011 (ISBN 978-2916352121).

Article connexe[modifier | modifier le code]

Théorème de Pascal