Transformation complexe

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La transformation complexe est une méthode mathématiques permettant de dériver, d'intégrer ou d'appliquer facilement des opérations arithmétiques (+, -, x et /) à des grandeurs fonctions sinusoïdales du temps, à condition qu'elles soient linéaires. Elle remplace avantageusement la représentation de Fresnel dans des situations compliquées.

Article détaillé : Phaseur (physique).

Principe[modifier | modifier le code]

À une grandeur  : , fonction sinusoïdale du temps d'expression :

,

on fait correspondre un nombre complexe :

  • de module :
  • d'argument :
  • notation exponentielle  : ,
    • remarque[réf. nécessaire]  : il est fréquent que l'on abrège la notation exponentielle sous la forme  :
,
Dans ce cas, il faut conserver en mémoire l'existence de ω pour les dérivations ou les intégrations.

En électricité, pour les courants et les tensions, il est d'usage d'utiliser un nombre complexe dont le module est égal à la valeur efficace de la grandeur :

Opérations élémentaires[modifier | modifier le code]

  • Opérations arithmétiques : on se ramène à des opérations sur les nombres complexes, puis on applique la transformation inverse pour obtenir la grandeur sinusoïdale qui correspond au résultat de l'opération.
  • Dérivation
On dérive le nombre complexe image :
,
on obtient :
ou encore
  • Intégration
On intègre le nombre complexe image et on obtient :
, ou encore

Représentation complexe des courants et tensions (généralisable)[modifier | modifier le code]

Dans un circuit en régime permanent sinusoidal composé de composants linéaires, un courant ou une tension est une fonction g(t) du type :

,

On note un nombre complexe associé à g(t) égal à :

  • est égal à la valeur efficace de g,
  • est égale à la phase totale de g (incluant le ).


est appelée amplitude complexe[1] de s car elle caractérise le signal tandis que le terme est commun à tous les signaux du circuit. On remarque que [Une erreur a été suspectée ; il est demandé aux personnes ayant un avis clair sur la question de rectifier l'erreur, ou à défaut d'expliquer la raison d'être de l'élément.] [réf. nécessaire] dans le cas d'une fonction en sinus sinon dans le cas d'une fonction en cosinus. est donc l'élément mathématique qui porte les informations de phase et d'amplitude de . Ce sont donc les amplitudes complexes qui sont recherchées pour décrire un circuit en régime sinusoidal. La notation sous forme exponentielle permet d'éviter l'utilisation de formules trigonométriques et elle est à mettre en liens avec l'Impédance (électricité) complexe.

Notes et références[modifier | modifier le code]