Transformation complexe

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La transformation complexe est une méthode mathématiques permettant de dériver, d'intégrer ou d'appliquer facilement des opérations arithmétiques (+, -, x et /) à des grandeurs fonctions sinusoïdales du temps, à condition qu'elles soient linéaires. Elle remplace avantageusement la représentation de Fresnel dans des situations compliquées.

Article détaillé : Phaseur (physique).

Principe[modifier | modifier le code]

À une grandeur g(t), fonction sinusoïdale du temps d'expression :

,

on fait correspondre un nombre complexe :

  • de module : G
  • d'argument φ
  • notation exponentielle  : ,
    • remarque[réf. nécessaire]  : il est fréquent que l'on abrège la notation exponentielle sous la forme  :
, avec : ,
Dans ce cas, il faut conserver en mémoire l'existence de ω pour les dérivations ou les intégrations.

En électricité, pour les courants et les tensions, il est d'usage d'utiliser un nombre complexe dont le module est égal à la valeur efficace de la grandeur :

Opérations élémentaires[modifier | modifier le code]

  • Opérations arithmétiques : on se ramène à des opérations sur les nombres complexes, puis on applique la transformation inverse pour obtenir la grandeur sinusoïdale qui correspond au résultat de l'opération.
  • Dérivation
On dérive le nombre complexe image :
,
on obtient :
ou encore
  • Intégration
On intègre le nombre complexe image et on obtient :
, ou encore

Représentation complexe des courants et tensions (généralisable)[modifier | modifier le code]

Dans un circuit en régime permanent sinusoidal composé de composants linéaires, un courant ou une tension est une fonction g(t) du type :

,

On note un nombre complexe associé à g(t) égal à :

  • est égal à la valeur efficace de g,
  • est égale à la phase totale de g (incluant le ω t).


Le terme est appelée amplitude complexe[1] de s car elle caractérise le signal tandis que le terme est commun à tous les signaux du circuit. On remarque que [Une erreur a été suspectée ; il est demandé aux personnes ayant un avis clair sur la question de rectifier l'erreur, ou à défaut d'expliquer la raison d'être de l'élément.] [réf. nécessaire] dans le cas d'une fonction en sinus sinon dans le cas d'une fonction en cosinus. est donc l'élément mathématique qui porte les informations de phase et d'amplitude de s(t). Ce sont donc les amplitudes complexes qui sont recherchées pour décrire un circuit en régime sinusoidal. La notation sous forme exponentielle permet d'éviter l'utilisation de formules trigonométriques et elle est à mettre en liens avec l'impédance complexe.

Notes et références[modifier | modifier le code]