Théorème de factorisation de Weierstrass

En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de factorisation de Weierstrass, nommé en l'honneur de Karl Weierstrass, affirme que les fonctions entières peuvent être représentées par un produit infini, appelé produit de Weierstrass, mettant en jeu leurs zéros.

Le théorème de factorisation de Weierstrass[modifier | modifier le code]

Du développement en série entière suivant pour $u \in ]-1;1[$ :

\ln(1-u)=-\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {u^{n}}{n}}=-u-{\frac {u^{2}}{2}}-{\frac {u^{3}}{3}}-\ldots -{\frac {u^{n}}{n}}-\ldots

on déduit que la fonction tronquée aux $m$ premiers termes

E(u,m)=(1-u)\mathrm {e} ^{u+u^{2}/2+\ldots +u^{m}/m}

,

est sensiblement égale à 1 sur [–1 ; 1], sauf dans un voisinage de $u = 1$ où elle admet un zéro d'ordre 1. Ces facteurs $E (u, m)$ sont appelés facteurs primaires de Weierstrass. Avec eux, Weierstrass a montré que pour toute fonction entière $f$ d'ordre fini $ρ$ et s'annulant sur les nombres complexes $a n \neq 0$ , il existe un polynôme $P (s)$ de degré inférieur ou égal à $ρ$ , et un entier $m < ρ$ tels que l'on ait ^[1]^,^[2] :

f(s)=s^{p}\exp(P(s))\prod _{n=1}^{\infty }E\left({\frac {s}{a_{n}}},m\right)

.

Le facteur $s p$ correspond aux fonctions ayant un zéro d'ordre $p$ en 0.

Par la suite, Borel a précisé $m$ et le degré du polynôme P. Le degré de P est égal à la partie entière de l'ordre $ρ$ si $ρ$ n'est pas entier. Il peut prendre la valeur $ρ$ ou la valeur $ρ -1$ si l'ordre $ρ$ est entier. L'entier $m$ est majoré par $ρ$ . L'un des deux entiers au moins est égal à $ρ$ si l'ordre est entier. Ce théorème a été généralisé par Hadamard aux fonctions méromorphes.

Le théorème de Hadamard[modifier | modifier le code]

Le théorème de factorisation de Hadamard relatif aux fonctions méromorphes d'ordre fini $ρ$ s'énonce ainsi :

Pour toute fonction méromorphe $f (s)$ d'ordre fini $ρ$ il existe deux entiers $m 1$ et $m 2$ plus petits que $ρ$ , et un polynôme $q (s)$ de degré inférieur à $ρ$ tels que $f(s)=\mathrm {e} ^{q(s)}{\frac {p_{1}(s)}{p_{2}(s)}}$ , où $p 1 (s)$ et $p 2 (s)$ sont des produits de fonctions canoniques d'ordres $m 1$ et $m 2$ bâtis sur les zéros $a i$ et les pôles $b i$ de $f$ .

$p_{1}(s)=\prod _{n=1}^{\infty }{E\left({\frac {s}{a_{n}}},m_{1}\right)},\qquad p_{2}(s)=\prod _{n=1}^{\infty }{E\left({\frac {s}{b_{n}}},m_{2}\right)}$ ,
avec $E(u,m)=(1-u)\mathrm {e} ^{u+u^{2}/2+\ldots +u^{m}/m}$ .

Il est une simple conséquence du théorème de factorisation de Weierstrass et du théorème suivant :

Toute fonction méromorphe est le quotient de deux fonctions entières.

Exemples de factorisations et applications[modifier | modifier le code]

La forme donnée par le théorème de factorisation peut souvent se réécrire (voir la section correspondante de l'article « Produit infini ») :

f(z)=z^{m}\;\mathrm {e} ^{\phi (z)}\;\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right)

, où les

u n

sont les zéros de

f

; en pratique, la difficulté est le plus souvent de déterminer la fonction

ϕ (z)

.

On a en particulier

$\sin \pi z=\pi z\prod _{n\neq 0}\left(1-{\frac {z}{n}}\right)\mathrm {e} ^{z/n}=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)$
$\cos \pi z=\prod _{n\neq 0}\left(1-{\frac {2z}{2n-1}}\right)\mathrm {e} ^{2z/(2n-1)}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {4z^{2}}{(2n-1)^{2}}}\right)$
Pour l'inverse de la fonction gamma, on a la formule analogue $1/\Gamma (z)=z\;\mathrm {e} ^{\gamma z}\;\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)\;\mathrm {e} ^{-z/n}$ (formule due à Schlömilch)

Le produit infini correspondant à la fonction sinus a été découvert par Leonhard Euler, qui s'en est servi pour résoudre le problème de Bâle, et obtenir plus généralement, en identifiant le développement du produit avec celui de la fonction sinus en série de Taylor, les valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers pairs :

\zeta (2k)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2k}}}\ =\ {\frac {|B_{2k}|\ (2\pi )^{2k}}{2\,(2k)!}}

, où les

B 2 k

sont les nombres de Bernoulli.

Notant $x n$ la solution de l'équation $x = tan x$ comprise entre $n π$ et $n π + π/2$ (pour $n$ entier strictement positif), on peut de même obtenir le développement en produit infini^[3] :