Théorie des possibilités

En mathématiques et en informatique, la théorie des possibilités est une alternative à la théorie des probabilités pour représenter l'incertitude. Lotfi Zadeh a d'abord introduit la théorie des possibilités en 1978 comme une extension de sa théorie des ensembles flous et la logique floue. Didier Dubois et Henri Prade ont ensuite contribué à son développement.

Formalisation de la possibilité

Étant donné un univers Ω que l'on suppose fini pour simplifier la présentation, une mesure ou distribution de possibilité est une fonction $\operatorname {pos}$ de $2^{\Omega }$ dans [0, 1], c'est-à-dire à chaque sous-ensemble d'événements U, on associe pos(U) qui mesure la possibilité de U. Si pos(U) = 0 alors U est impossible, si pos(U) = 1 alors U est normal, sans surprise. La fonction satisfait trois axiomes :

1. $\operatorname {pos} (\varnothing )=0$
2. $\operatorname {pos} (\Omega )=1$
3. $\operatorname {pos} (U\cup V)=\max \left(\operatorname {pos} (U),\operatorname {pos} (V)\right)$pour tout sous-ensemble $U$ et $V$

Si l'univers Ω est infini, l'axiome 3 s'écrit :

• Pour tout ensemble d'indices $I$, si les sous-ensembles $U_{i,\,i\in I}$sont deux-à-deux disjoints, alors $\operatorname {pos} \left(\cup _{i\in I}U_{i}\right)=\sup _{i\in I}\operatorname {pos} (U_{i}).$

Nécessité

La nécessité est le dual de la possibilité dans le sens suivant. On définit une fonction nec qui mesure la nécessité d'un sous-ensemble d'événements par : $\operatorname {nec} (U)=1-\operatorname {pos} ({\overline {U}})$.

Lien avec la théorie des probabilités

La théorie des possibilités généralise la théorie des probabilités dans le sens où se donner une fonction de possibilité revient à se donner une borne supérieure sur les probabilités :

$\left\{\,p:\forall S\ p(S)\leq \operatorname {pos} (S)\,\right\}.$