Théorie des files d'attente

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La théorie des files d'attente est une théorie mathématique relevant du domaine des probabilités, qui étudie les solutions optimales de gestion des files d’attente, ou queues[1]. Une queue est nécessaire et se créera d'elle-même si ce n'est pas anticipé, dans tous les cas où l'offre est inférieure à la demande, même temporairement. Elle peut s’appliquer à différentes situations : gestion des avions au décollage ou à l’atterrissage, attente des clients et des administrés aux guichets, ou bien encore stockage des programmes informatiques avant leur traitement. Ce domaine de recherches, né en 1917, des travaux de l’ingénieur danois Erlang sur la gestion des réseaux téléphoniques de Copenhague[2] à partir de 1908, étudie notamment les systèmes d’arrivée dans une queue, les différentes priorités de chaque nouvel arrivant, ainsi que la modélisation statistique des temps d’exécution.

C'est grâce aux apports des mathématiciens Khintchine, Palm, Kendall, Pollaczek[3] et Kolmogorov que la théorie s'est vraiment développée.

Description[modifier | modifier le code]

On définit un système d’attente de la manière suivante : un flux d’événements qu’on appellera « clients » arrive séquentiellement en réclamant un service. La théorie considère généralement le temps séparant l’arrivée des clients et la durée de service comme deux variables aléatoires (files dites « markoviennes[4] »), mais certains travaux considèrent alternativement les files déterministes, ou le temps d'attente est constant. Le client se dirige vers un poste de service (serveur) s’il dès qu’il y en a un de libre, afin d’être servi, sinon il se positionne dans une « file d’attente. »

Un système d’attente est donc composé d’un espace de service (comportant un ou plusieurs serveurs) et d'un espace d'attente dans lequel se forme une éventuelle file d'attente[4]. En informatique, on parlera de client et de serveur ; ailleurs on préférera les termes d’unité et de station.

La littérature distingue par ailleurs[4] :

  • les systèmes ouverts, où la file (le nombre d'entrées en attente) est de longueur infinie, et
  • les systèmes fermés, où la file d'attente est de taille finie.

Enfin, la description d'une file d'attente s'accompagne de la « discipline » ou « politique de service[4] » :

Objet de la théorie[modifier | modifier le code]

Étant donné une file d'attente, la théorie se propose de produire un certain nombre de résultats, tels :

  • la longueur moyenne de la file,
  • la durée moyenne de service
  • le taux moyen d'inactivité des serveurs,
  • le temps moyen d'attente dans une file
  • le temps moyen total de service dans le système (ou « temps de résidence » en informatique).

Elle peut étudier l'existence ou non d'un régime stationnaire, le risque de saturation du service, la discipline optimale par rapport au temps de résidence, etc.

Aspects mathématiques[modifier | modifier le code]

Loi de Little[modifier | modifier le code]

La loi de Little énonce que le nombre moyen de clients dans un système stable est égal à leur fréquence moyenne d'arrivée multipliée par leur temps moyen passé dans le système : .

Notation de Kendall[modifier | modifier le code]

Il existe, évidemment, de très nombreux systèmes de files d'attente. La notation de Kendall permet de décrire le système par une suite de 6 symboles a/s/C/K/m/Z[5],[6].

  • a indique la loi de probabilité des instants d'arrivées, par exemple GI pour la loi générale indépendante et M pour la loi de Poisson ou la loi exponentielle.
  • s indique la loi de probabilité de la durée du service (au guichet); on utilise les mêmes symboles que précédemment
  • C indique le nombre de serveurs (nombre de guichets)
  • K, c'est la capacité totale du système, c'est-à-dire le nombre de serveurs (C) + le nombre de places en attente
  • m indique la population totale de clients (par exemple: nombre d'inscrits sur une liste électorale dans le cas d'une file d'attente à un bureau de vote)
  • Z, la discipline de service, par exemple FIFO, Last in, first out, Nearest neighbour, etc.

Très souvent, les trois derniers symboles de la notation sont omis avec, par défaut, K infini, m infini et Z en paps.

Quelques résultats[modifier | modifier le code]

Avec :

  • fréquence moyenne d'arrivées ;
  • temps moyen de service ;
  • trafic offert (nombre moyen d'arrivées pendant le temps moyen de service). Attention à ne pas oublier S, le nombre de serveurs.
File M/M/1 File M/M/S
Probabilité système vide (P0)
Probabilité d'attente (Pa)
Nombre moyen de clients dans le système (<N>)
Nombre moyen de clients en attente (<Na>)
Nombre moyen de clients en service (au guichet) (<Ns>)
Temps moyen de séjour dans le système ()
Temps moyen d'attente ()
Condition d'atteinte de l'équilibre (« pas d'engorgement »)

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. A. Kaufmann et R. Cruon, Les phénomènes d'attente : théorie et applications, Paris, Dunod, , 274 p.
  2. Erlang a présenté sa théorie dans A. K. Erlang, « The theory of probability and telephone conversations », Nyt Tidsskrift for Matematik, série B, vol. 20,‎ puis A. Erlang, « Solution of some Problems in the Theory of Probabilities of Significance in Automatic Telephone Exchanges », Elektrotkeknikeren, vol. 13,‎ .
  3. Cf. F. Pollaczek, Problèmes stochastiques posés par le phénomène de formation d'une queue d'attente à un guichet et par des phénomènes apparentés, Paris, Gauthier-Villars, coll. « Mémorial des Sciences Mathématiques, n°136 »,
  4. a b c et d D’après J.-M. Helary et R. Pedrono, Recherche opérationnelle — Travaux dirigés, Paris, Hermann, (ISBN 2705659552), « II. Files d'attente markoviennes », p. 90.
  5. (en) David George Kendall, « Stochastic Processes Occurring in the Theory of Queues and their Analysis by the Method of the Imbedded Markov Chain », The Annals of Mathematical Statistics, vol. 24, no 3,‎ , p. 338 (DOI 10.1214/aoms/1177728975, JSTOR 2236285).
  6. (en) Alec Miller Lee, « A Problem of Standards of Service (Chapter 15) », dans Applied Queueing Theory, New York, MacMillan, (ISBN 0-333-04079-1).

Voir aussi[modifier | modifier le code]