Théorie de Mie

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En optique ondulatoire, la théorie de Mie, ou solution de Mie, est une solution particulière des équations de Maxwell décrivant la diffusion d'une onde électromagnétique plane par des particules sphériques caractérisées par leur diamètre et leur indice de réfraction complexe. Elle tire son nom du physicien allemand Gustav Mie, qui la décrivit en détail en 1908. Le travail de son prédécesseur Ludvig Lorenz est aujourd'hui reconnu comme « empiriquement équivalent »[1] et l'on parle parfois de la solution de Lorenz-Mie. Elle reçut de nombreux apports du physicien Peter Debye dans les années qui suivirent. La désignation « solution » est préférée à celle de « théorie » car la contribution de Mie et Lorenz ne constitue pas une théorie physique indépendante, mais une solution analytique s'intégrant dans le formalisme de Maxwell.

On parle parfois de diffusion de Mie pour opposer cette solution générale à la diffusion de Rayleigh. Le phénomène physique est bien toujours la diffusion élastique des ondes lumineuses, mais la théorie de Rayleigh est une approximation de celle de Mie dans le cas des sphères petites devant la longueur d'onde (typiquement < λ/10), et les résultats obtenus sont qualitativement différents lorsque la taille des sphères devient comparable à λ.

Historique[modifier | modifier le code]

Dans son article de 1908[2], Mie étudie la diffusion de la lumière par des petites sphères d'or en solution, expliquant ainsi pourquoi des sphères de différents diamètres donnent des couleurs différentes. Étant un physicien théoricien, il s'attache cependant à trouver une solution générale à la diffusion de particules sphériques, que celles-ci soient métalliques ou diélectriques, en se plaçant dans le cadre de l'électromagnétisme précédemment formulé par Maxwell. Il se place ainsi dans l'étude de la diffusion des ondes, qui « a une histoire à laquelle ont contribué certains des plus grands noms de la physique mathématique de la fin du XIX° et du début du XX° siècle »[3], avant même le travail de Mie[4]. Le problème de la diffusion par une sphère a ainsi été résolu plusieurs fois de manière indépendante. En particulier, Alfred Clebsch l'a résolu dans un mémoire de 1863 dans le cas des ondes élastiques, et Ludvig Lorenz s'est appuyé sur les résultats de Clebsch pour les appliquer en 1890 à la diffusion des ondes électromagnétiques[3]. Le travail de Lorenz a cependant eu peu de répercussions[3],[5], notamment parce qu'il ne se plaçait pas dans le même formalisme que Maxwell (bien que sa théorie soit équivalente[3]) et parce que son mémoire a été écrit en danois (bien qu'une traduction en français ait été disponible à partir de 1896[3]). Mie ne connaissait probablement pas ce travail de Lorenz et la raison pour laquelle l'histoire a retenu son nom est que son article fournissait un guide complet pour les études futures, et parce qu'il avait avancé les calculs numériques plus loin que les auteurs précédents.

Parmi les autres auteurs célèbres, Lord Rayleigh a étudié la diffusion par des particules de taille plus petites que la longueur d'onde, et la diffusion de Rayleigh qui porte son nom peut également être retrouvée en ne retenant que la première onde partielle dans la théorie de Mie.

Diffusion de Rayleigh, cas limite de la diffusion de Mie[modifier | modifier le code]

Section efficace de diffusion d'une particule métallique parfaitement conductrice calculée à l'aide de la théorie de Mie. Les asymptotes rouges font apparaître deux cas limites. Pour des particules de diamètre d plus petit que la longueur d'onde λ, la section efficace dépend fortement de la longueur d'onde : σ = 9π⁵d⁶/(4λ⁴), alors que pour les grandes particules, la section efficace est la surface projetée de la particule : σ = πd²/4.

Le cas de la diffusion par des très petites particules, telles que des molécules, de dimensions inférieures au dixième de la longueur d'onde considérée, est un cas limite appelé diffusion Rayleigh. Pour les particules plus grosses que cette longueur d'onde, on doit prendre en compte la diffusion de Mie dans son intégralité : elle explique dans quelles directions la diffusion est la plus intense, on obtient ainsi un « patron de réémission » qui ressemble à celui des lobes d'émission d'une antenne, avec, dans le cas de grosses particules, un lobe plus intense dans la direction opposée à celle d'où provient l'onde incidente.

De gauche à droite : intensité de la diffusion Rayleigh, de la diffusion Mie pour de petites particules et de la diffusion Mie pour de grosses particules, en fonction de la direction. L'onde incidente arrive par la gauche.

La diffusion de Mie n'est pas toujours fortement dépendante de la longueur d'onde utilisée comme c'est le cas dans celle de Rayleigh. Elle produit donc une lumière presque blanche lorsque le Soleil illumine de grosses particules dans l'air : c'est cette dispersion qui donne la couleur blanc laiteux à la brume et au brouillard.

Cependant, si les solutions fournies par la diffusion de Mie sont exactes (pour des sphères), elles ne sont pas toutes analytiques, et on est souvent limité à des approches numériques.

Comparaison pratique entre la diffusion de Mie et la diffusion Rayleigh[modifier | modifier le code]

Le ciel et les nuages sont très différents… mais leur couleur est expliquée par la même théorie !
Article détaillé : Couleur du ciel.

La diffusion Rayleigh est un cas limite de la diffusion de Mie. Néanmoins, elle diffère par plusieurs aspects perceptibles lorsqu'on les compare pour des particules de tailles très différentes.

On peut apprécier la différence entre la diffusion Rayleigh et la diffusion Mie en observant le ciel : pour les molécules qui constituent l'atmosphère, la première explique la couleur bleue du ciel ; pour les gouttelettes d'eau qui forment les nuages, la seconde explique leur blanc.

La première est fortement dépendante de la longueur d'onde, mais disperse uniformément dans toutes les directions : le ciel sans nuages apparait uniformément bleu (longueur d'onde favorisée par les molécules concernées), quelle que soit la direction observée.

Les gouttelettes du nuage étant très larges par rapport à la longueur d'onde de la lumière visible, la dispersion est celle de Mie : uniforme sur toutes les couleurs du spectre (d'où une couleur blanche, comme le soleil), mais anisotrope, surtout vers l'avant. Ainsi, l'observateur voit surtout les bordures du nuage en blanc prononcé, puis un dégradé[6].

Formalisme et résultats[modifier | modifier le code]

L'approche de Mie étudie le problème par des séries sphériques, c'est-à-dire des sommes infinies d'harmoniques sphériques. La diffusion de Mie est indépendante de l'intensité lumineuse et de la nature exacte de la particule.

C'est cette sommation infinie — qu'on ne sait pas toujours exprimer — qui n'a permis l'utilisation pratique de cette méthode qu'au cours des 30 dernières années, d'une part lorsque les premiers calculateurs électroniques ont pu faire des évaluations numériques, et d'autre part grâce à l'utilisation des séries de Debye qui en donnent une approximation.

La section efficace de diffusion est le rapport entre la puissance électromagnétique diffusée et l'énergie incidente (moyenne temporelle du vecteur de Poynting). On montre que la section efficace de la diffusion de Mie pour une particule sphérique de rayon a pour une onde incidente plane de nombre d'onde k est :

\sigma_\text{eff} = \frac{10\pi}{3} a^2 \left( k a \right)^4

Puisqu'on a, dans le cas général, la relation :

k = \frac{\omega}{c} = \frac{2 \pi f }{c} = 2 \pi \frac{1}{cT} = 2 \pi \frac{1}{\lambda}

on retrouve la diffusion Rayleigh lorsque la longueur d'onde est très supérieure à a : la diffusion est en 1/λ⁴. On observe également que, si ce n'est plus le cas, le facteur a est largement dominant et la diffusion est pratiquement identique pour tout le spectre visible — qui est peu étendu.

Si on note θ l'angle formé par une direction et la direction de l'onde incidente, la diffusion est à symétrie cylindrique d'axe θ = 0 et la section efficace angulaire est :

\frac{d \sigma_\text{eff}}{d \Omega} \left( \theta \right) = a^2 \left( ak \right)^4 \left[ \frac{5}{8} \left( 1 + \cos^2 \theta \right) + \cos{\theta} \right]

La diffusion se fait alors principalement dans la direction θ = 0, où cette quantité est maximale. L'autre cas limite est la théorie de la diffraction selon ce même axe. La théorie de Mie peut ainsi expliquer certains phénomènes comme les arcs-en-ciel, bien qu'elle ne soit pas une approche nécessaire.

Résolution mathématique[modifier | modifier le code]

Position du problème[modifier | modifier le code]

La diffusion de Mie est un problème vectoriel qui implique l'utilisation sous leur forme complète des champs électrique et magnétique[7].

On se donne une fonction scalaire Ψ qui satisfait l'équation de d'Alembert :

\nabla^2 \Psi + k^2 n^2 \Psi=0

avec n l'indice de réfraction du milieu, k le nombre d'onde et \nabla l'opérateur formel nabla. On pose les vecteurs M et N tels que :

\mathbf M = \nabla \times \left( \mathbf r \Psi \right)
\mathbf N = \frac{\nabla \times \mathbf M}{k}

avec r le vecteur position. Alors, en coordonnées sphériques, M et N satisfont l'équation de d'Alembert.

La résolution de la diffusion de Mie pour Ψ donne accès aux deux champs vectoriels, desquels on déduit l'onde diffusée.

Résolution et conditions limites[modifier | modifier le code]

Représentation de la diffusion Mie pour une particule sphérique de 2 µm de rayon, éclairée par la gauche avec de la lumière rouge (λ = 633 nm).

En coordonnées sphériques, il existe des solutions stationnaires à l'équation d'onde. On les exprime en termes d'harmoniques sphériques. Ces solutions sont engendrées par deux fonctions de la forme :

\Psi_{N,L} = \cos \left(L \phi \right) P_N^L \left(\cos \theta \right) z_N \left(n k r \right)
\Psi_{N,L} = \sin \left( L\phi \right) P_N^L \left(\cos \theta \right) z_N \left(n k r \right)

avec N et L deux paramètres entiers, P_N^L les polynômes de Legendre, zN les fonctions de Bessel sphériques, r, θ et ϕ sont les coordonnées sphériques.

La particule étant de rayon a, la lumière incidente de longueur d'onde λ, on introduit pour simplifier x défini par :

x = \frac{2 \pi a}{\lambda}

Alors les conditions limites imposent les coefficients de la solution de la diffusion Mie :

 a_N = \frac{\Psi_N^\prime \left( nx \right) \Psi_N \left( x \right)-n \Psi_N \left(nx\right) \Psi_N^\prime \left( x \right)}{\Psi_N^\prime \left(nx\right) \zeta_N \left( x \right) - n \Psi_N \left( nx \right) \zeta^\prime \left( x \right)}
b_N = \frac{n \Psi_N^\prime \left(nx\right) \Psi_N \left(x\right)- \Psi_N \left(nx\right) \Psi_N^\prime \left(x\right)}{n \Psi_N^\prime \left(nx\right) \zeta_N \left(x\right) - \Psi_N \left(nx\right) \zeta^\prime \left(x\right)}

avec Ψ et ζ les fonctions de Riccati-Bessel[8].

La section efficace de la diffusion est donnée par :

\sigma_\text{eff} = \frac{2 \pi}{k^2} \sum_{N=1}^{\infty} \left( \left| a_N \right|^2 + \left| b_N \right|^2 \right).
\sigma_\text{eff} = \frac{10\pi}{3} a^2 \left( k a \right)^4

Plasmon de Mie[modifier | modifier le code]

Illustration du modèle du plasmon de Mie. Une molécule absorbe un photon, est perturbée, puis réémet un photon.

La diffusion de Mie peut également être observée pour des molécules suffisamment grosses, ou des rayonnements suffisamment fins pour que l'objet reste d'une taille importante devant la longueur d'onde. Cependant, on ne peut pas toujours traiter ces cas dans le cadre strict de la théorie de Mie, qui s'applique en toute rigueur à des sphères diélectriques. Il est toutefois possible de retrouver ces résultats en considérant un modèle (classique) du comportement électronique.

Si on suppose les molécules sphériques, constituées d'un nuage chargé positivement et fixe (le noyau) et d'un nuage chargé négativement et mobile (les électrons), liés uniquement par l'attraction électrostatique. C'est le modèle du plasmon de Mie : les mouvements des charges rayonnent une onde électromagnétique.

L'origine de ces mouvements est due à l'absorption d'un photon, qui fournit une impulsion au nuage électronique[9]. Il y a donc absorption puis réémission : c'est bien un phénomène de diffusion.

La description du phénomène peut être faite en considérant les mouvements relatifs des « nuages » :

  1. à l'origine, ils sont confondus, l'ensemble est neutre ;
  2. un photon est absorbé par le nuage électronique, qui se déplace ;
  3. le déplacement des électrons crée un excès de charges, qui attire les nuages l'un vers l'autre ;
  4. cette accélération engendre un rayonnement ;

Il peut se produire plusieurs oscillations, mais l'énergie est progressivement perdue par rayonnement, et le système revient à l'équilibre. En particulier, la diffusion est globalement isotrope.

Le plasmon de Mie est distinct des modèles utilisés par la théorie de la diffusion Rayleigh : en effet, cette dernière utilise l'électron élastiquement lié. Dans ce modèle, qui est une approximation des résultats de mécanique quantique à l'ordre 2, la force de rappel exercée sur les électrons est proportionnelle au carré de l'écart x — pour le plasmon de Mie, la force de rappel est proportionnelle à l'inverse du carré de l'écart.

Cette expression implique qu'un photon d'énergie suffisante pourrait séparer le noyau de ses électrons, autrement que par un processus d'ionisation, ce qui n'est pas acceptable physiquement : le modèle du plasmon de Mie n'est valable que pour des longueurs d'onde suffisamment grandes.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Hergert2012
  2. Mie1908
  3. a, b, c, d et e N.A. Logan, « Survey of some early studies of the scattering of plane waves by a sphere », Proceedings of the IEEE, vol. 53, no 8,‎ , p. 773–785 (ISSN 0018-9219, DOI 10.1109/PROC.1965.4055)
  4. Hergert2012, p. 30
  5. Hergert2012, p. 31
  6. (de) « Grundlagen der atmosphärischen Optik ».
  7. Il est également possible d'étudier le problème par d'autres méthodes, voir par exemple (de) « Mie-Streuung und Lokalisierung ».
  8. (pl) « Wykład 3. Rozpraszanie promieniowania »
  9. Bien que ce modèle utilise l'énergie du photon, résultat quantique lié à la constante de Planck, le plasmon de Mie n'utilise que des arguments de mécanique classique.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (de) Gustav Mie, « Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen », Annalen der Physik, Leipzig, vol. 25,‎ , p. 377–445 ([version%20originale%20de%201908%20en%20allemand résumé], lire en ligne)
  • (en) Wolfram Hergert, Thomas Wriedt (eds.), The Mie Theory, Berlin, Heidelberg, Springer Berlin Heidelberg,‎ 2012 (ISBN 978-3-642-28737-4, lire en ligne)
  • (en) A. Stratton, Electromagnetic Theory. McGraw-Hill, New York, 1941 ;
  • (en) H. C. van de Hulst, Light scattering by small particles. Dover, New York, 1981 ;
  • (en) M. Kerker, The scattering of light and other electromagnetic radiation. Academic, New York, 1969 ;
  • (en) C. F. Bohren, D. R. Huffmann, Absorption and scattering of light by small particles. Wiley-Interscience, New York, 1983 ;
  • (en) P. W. Barber, S. S. Hill, Light scattering by particles: Computational Methods. World Scientific, Singapour, 1990 ;
  • (en) Hong Du, « Mie-scattering calculation », Applied Optics 43 (9), 1951-1956 (2004).
  • (en) Thomas Wriedt, « Mie theory 1908, on the mobile phone 2008 », J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transf. 109 , 1543–1548 (2008).