Théorèmes de König (mécanique)

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Les deux théorèmes de König concernant la mécanique sont dus à Johann Samuel König (allemand né à Büdinger en 1712, mort à Amerongen aux Pays-Bas en 1757). Ils permettent d'exprimer le moment cinétique (ou angulaire) et l'énergie cinétique d'un système de points matériels sous des formes plus facilement interprétables physiquement.

Notion de référentiel barycentrique[modifier | modifier le code]

Les deux théorèmes se démontrent en faisant intervenir un référentiel particulier : le référentiel barycentrique (ou référentiel du centre de masse), noté (R*).

Définition[modifier | modifier le code]

(R*) est le référentiel lié au centre d'inertie G, en mouvement de translation par rapport à (R)

Propriétés de (R*)[modifier | modifier le code]

Remarque importante : bien que (R*) soit par définition en translation par rapport au référentiel d'étude (R), il n'est pas en général un référentiel galiléen. Pour que (R*) soit galiléen, il faudrait que (R) le soit et que le mouvement de(R*) par rapport à (R) soit rectiligne et uniforme.
De façon générale, les moments cinétiques du système en deux points O et O' sont liés par la relation : (voir moment cinétique). Comme par définition dans (R*) , le moment cinétique du système dans (R*) est indépendant du point où on le calcule : .
est aussi appelé moment cinétique propre (ou interne) du système.

Par ailleurs, d'après l'expression générale du moment cinétique d'un système, , or (composition des vitesses entre (R) et (R*)) , d'où :
, d'après la définition du centre de masse.
Comme par ailleurs , il en résulte la propriété fondamentale suivante :, autrement dit le moment cinétique propre du système, dans le référentiel barycentrique (R*) associé à (R) s'identifie avec le moment cinétique par rapport à G évalué dans (R).

Enfin, il est possible de définir dans (R*) l'énergie cinétique propre du système : .

Premier théorème concernant le moment cinétique[modifier | modifier le code]

Théorème — Avec les notations précédentes, le premier théorème de König se met sous la forme :

, (1)

Interprétation physique : En d'autres termes, le moment cinétique d'un système par rapport à un point O est la somme de deux termes :

  • le moment cinétique du centre d'inertie G affecté de la masse totale M du système : ;
  • et le moment cinétique propre du système, identique à son moment cinétique par rapport à G dans (R).

Démonstration : d'après l'expression générale du moment cinétique en O dans le référentiel (R), et la composition des vitesses entre (R) et (R*)) ((R) et (R*) étant en translation), il vient :
, comme et que (définition du centre de masse) , le premier théorème de König (1) s'obtient aussitôt.

Deuxième théorème concernant l'énergie cinétique[modifier | modifier le code]

Théorème — Avec les notations précédentes, le second théorème de König se met sous la forme
, (2)

Interprétation physique : En d'autres termes, l'énergie cinétique d'un système matériel est la somme de deux termes :

Démonstration : comme précédemment . En substituant dans l'expression générale de l'énergie cinétique d'un système, il vient :

,
le premier terme de droite n'est autre que et est la masse totale du corps et par définition de (R*), , le second théorème de König (2) s'obtient aussitôt.

Utilisation[modifier | modifier le code]

Les deux théorèmes de König sont valables que le système soit déformable ou non. Ils sont fréquemment appliqués au cas particulier important du solide, voir moment cinétique et énergie cinétique.