Opérations sur les limites

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Cette page est une annexe de l'article limite (mathématiques élémentaires), qui explique comment traduire en termes de limites les opérations usuelles : addition, multiplication, composition...

Tous les résultats listés ici sont valables à la fois pour les limites de fonctions et pour les limites de suites

Opérations algébriques[modifier | modifier le code]

On considère ici le cas où on effectue les opérations algébriques élémentaires sur des fonctions ou des suites dont on connaît les limites. Dans la plupart des cas on peut conclure mais parfois une étude supplémentaire est nécessaire, on parle de forme indéterminée, ou FI. Ces cas seront traités à part.

Multiplication par un réel[modifier | modifier le code]

On peut multiplier une suite ou une fonction par un réel fixé  ; on obtient alors :

  • La suite définie par :
  • La fonction définie par :

Alors on peut écrire le tableau suivant, selon que la suite converge vers une limite finie ou diverge vers  :

On a exactement le même tableau pour les cas d'une fonction . Que ce soit pour une limite en un point ou pour une limite en on écrira . La limite de est :

Addition[modifier | modifier le code]

On peut additionner deux suites et ou deux fonctions et  :

  • La suite est définie par :
  • La fonction est définie par :

On peut donner la limite de la suite en fonction des limites respectives des suites et . Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

 
FI
FI

On a exactement le même tableau pour la limite de en fonction des limites respectives de et de .

 
FI
FI

Multiplication[modifier | modifier le code]

On peut multiplier deux suites et ou deux fonctions et  :

  • La suite est définie par :
  • La fonction est définie par :

On peut donner la limite de la suite en fonction des limites respectives des suites et . Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

 
FI FI
FI
FI

On a exactement le même tableau pour la limite de en fonction des limites respectives de et de .

 
FI FI
FI
FI

Division[modifier | modifier le code]

On peut diviser une suite par une suite vérifiant ou une fonction par une fonction vérifiant pour tout au voisinage du point considéré :

  • La suite est définie par :
  • La fonction est définie par : pour tous les tels que

On peut donner la limite de la suite en fonction des limites respectives des suites et . Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

 
FI FI
FI FI
FI FI
FI FI

On a exactement le même tableau pour la limite de en fonction des limites respectives de et de .

 
FI FI
FI FI
FI FI
FI FI

Formes indéterminées[modifier | modifier le code]

Les formes indéterminées sont soit de type additif : , soit de type multiplicatif : , ou . Notons que certaines formes indéterminées sont plus "camouflées" et on ne retrouve l'une des formes précédentes qu'après passage à l'exponentielle du logarithme népérien.

Pour parvenir à lever l'indétermination, on utilise une ou plusieurs des techniques suivantes :

Les articles suivants traitent plus en détail ces techniques :

Exemple :

On cherche à calculer

Or,

donc on est dans un cas de forme indéterminée « additive » ; on factorise l'expression :

et

donc on peut conclure d'après les règles sur la multiplication :

Composition[modifier | modifier le code]

Composition de deux fonctions[modifier | modifier le code]

La lecture de l'article Composition de fonctions peut aider à la compréhension de ce qui suit

Propriété[modifier | modifier le code]

Soient :

  • une fonction définie sur ;
  • une fonction définie sur telle que ;
  • ou une borne de .

Si :

Alors

Interprétation schématique[modifier | modifier le code]

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit la fonction définie sur par . On cherche la limite de en .

On peut schématiser le problème par :

Plus formellement :

  • ;
  • .

Par composition de limites :

Composition d'une fonction et d'une suite[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]