Opérations sur les limites

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

Cette page est une annexe de l'article limite (mathématiques élémentaires), qui explique comment traduire en termes de limites les opérations usuelles : addition, multiplication, composition...

Tous les résultats listés ici sont valables à la fois pour les limites de fonctions et pour les limites de suites

Opérations algébriques[modifier | modifier le code]

On considère ici le cas où on effectue les opérations algébriques élémentaires sur des fonctions ou des suites dont on connaît les limites. Dans la plupart des cas on peut conclure mais parfois une étude supplémentaire est nécessaire, on parle de forme indéterminée, ou FI. Ces cas seront traités à part.

Multiplication par un réel[modifier | modifier le code]

On peut multiplier une suite u = (u_n) ou une fonction f par un réel fixé k  ; on obtient alors :

  • La suite ku = ((ku)_n) définie par : \forall n \in \N,(ku)_n = k \times u_n
  • La fonction kf définie par : \forall x \in \R,(kf)(x) = k \times f(x)

Alors on peut écrire le tableau suivant, selon que la suite converge vers une limite finie \ell ou diverge vers \pm\infty  :

\lim u_n \ell -\infty +\infty
\lim (ku)_n k>0 k\ell -\infty +\infty
k<0 k\ell +\infty -\infty

On a exactement le même tableau pour les cas d'une fonction f . Que ce soit pour une limite en un point a \in  \R ou pour une limite en \pm\infty on écrira \lim f . La limite de kf est :

\lim f \ell -\infty +\infty
\lim kf k>0 k\ell -\infty +\infty
k<0 k\ell +\infty -\infty

Addition[modifier | modifier le code]

On peut additionner deux suites u=(u_n) et v=(v_n) ou deux fonctions f et g  :

  • La suite u+v est définie par : \forall n \in \N, (u+v)_n = u_n+v_n
  • La fonction f+g est définie par : \forall x \in \R, (f+g)(x) = f(x)+g(x)

On peut donner la limite de la suite u+v en fonction des limites respectives des suites u et v . Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

  \lim v
\ell' -\infty +\infty
\lim u \ell \ell + \ell' -\infty +\infty
-\infty -\infty -\infty FI
+\infty +\infty FI +\infty

On a exactement le même tableau pour la limite de f+g en fonction des limites respectives de f et de g .

  \lim g
\ell' -\infty +\infty
\lim f \ell \ell + \ell' -\infty +\infty
-\infty -\infty -\infty FI
+\infty +\infty FI +\infty

Multiplication[modifier | modifier le code]

On peut multiplier deux suites u=(u_n) et v=(v_n) ou deux fonctions f et g  :

  • La suite u \times v est définie par : \forall n \in \N, (u \times v)_n = u_n \times v_n
  • La fonction f \times g est définie par : \forall x \in \R, (f \times g)(x) = f(x) \times g(x)

On peut donner la limite de la suite u \times v en fonction des limites respectives des suites u et v . Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

  \lim v
\ell'<0 \ell'>0 0 -\infty +\infty
\lim u \ell<0 \ell \ell' \ell \ell' 0 +\infty -\infty
\ell>0 \ell \ell' \ell \ell' 0 -\infty +\infty
0 0 0 0 FI FI
-\infty +\infty -\infty FI +\infty -\infty
+\infty -\infty +\infty FI -\infty +\infty

On a exactement le même tableau pour la limite de f \times g en fonction des limites respectives de f et de g .

  \lim g
\ell'<0 \ell'>0 0 -\infty +\infty
\lim f \ell<0 \ell \ell' \ell \ell' 0 +\infty -\infty
\ell>0 \ell \ell' \ell \ell' 0 -\infty +\infty
0 0 0 0 FI FI
-\infty +\infty -\infty FI +\infty -\infty
+\infty -\infty +\infty FI -\infty +\infty

Division[modifier | modifier le code]

On peut diviser une suite u=(u_n) par une suite v=(v_n) vérifiant \forall n\in \N,v_n \neq 0 ou une fonction f par une fonction g vérifiant g(x) \neq 0 pour tout x au voisinage du point considéré :

  • La suite \tfrac{u}{v} est définie par : \forall n \in \N, \left(\tfrac{u}{v}\right)_n = \tfrac{u_n}{v_n}
  • La fonction \tfrac{f}{g} est définie par : \left(\tfrac{f}{g}\right)(x) = \tfrac{f(x)}{g(x)} pour tous les x tels que g(x) \neq 0

On peut donner la limite de la suite \tfrac{u}{v} en fonction des limites respectives des suites u et v . Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

  \lim v
\ell'<0 \ell'>0 0^- 0^+ -\infty +\infty
\lim u \ell<0 \frac{\ell}{\ell'} \frac{\ell}{\ell'} +\infty -\infty 0^{(+)} 0^{(-)}
\ell>0 \frac{\ell}{\ell'} \frac{\ell}{\ell'} -\infty +\infty 0^{(-)} 0^{(+)}
0^- 0^{(+)} 0^{(-)} FI FI 0^{(+)} 0^{(-)}
0^+ 0^{(-)} 0^{(+)} FI FI 0^{(-)} 0^{(+)}
-\infty +\infty -\infty +\infty -\infty FI FI
+\infty -\infty +\infty -\infty +\infty FI FI

On a exactement le même tableau pour la limite de \frac{f}{g} en fonction des limites respectives de f et de g .

  \lim g
\ell'<0 \ell'>0 0^- 0^+ -\infty +\infty
\lim f \ell<0 \frac{\ell}{\ell'} \frac{\ell}{\ell'} +\infty -\infty 0^{(+)} 0^{(-)}
\ell>0 \frac{\ell}{\ell'} \frac{\ell}{\ell'} -\infty +\infty 0^{(-)} 0^{(+)}
0^- 0^{(+)} 0^{(-)} FI FI 0^{(+)} 0^{(-)}
0^+ 0^{(-)} 0^{(+)} FI FI 0^{(-)} 0^{(+)}
-\infty +\infty -\infty +\infty -\infty FI FI
+\infty -\infty +\infty -\infty +\infty FI FI

Formes indéterminées[modifier | modifier le code]

Les formes indéterminées sont soit de type additif : +\infty - (+\infty), soit de type multiplicatif : 0 \times \pm\infty , \tfrac{0}{0} ou \tfrac{\pm\infty}{\pm\infty} . Notons que certaines formes indéterminées sont plus "camouflées" et on ne retrouve l'une des formes précédentes qu'après passage à l'exponentielle du logarithme népérien.

Pour parvenir à lever l'indétermination, on utilise une ou plusieurs des techniques suivantes :

Les articles suivants traitent plus en détail ces techniques :

Exemple  :

On cherche à calculer

\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^4}\right)

Or,

\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^3} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^4} = +\infty

donc on est dans un cas de forme indéterminée « additive » ; on factorise l'expression :

\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^4} = \frac{1}{x^4} \times (x-1)
\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^4} = +\infty et \lim_{x \to 0^+} (x-1) = -1

donc on peut conclure d'après les règles sur la multiplication :

\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^4}\right) = -\infty

Composition[modifier | modifier le code]

Composition de deux fonctions[modifier | modifier le code]

La lecture de l'article Composition de fonctions peut aider à la compréhension de ce qui suit

Propriété[modifier | modifier le code]

Soient :

  • g une fonction définie sur J;
  • f une fonction définie sur I telle que f(I)\subset J;
  • a\in I ou a une borne de I.

Si :

  • \lim_{x\to a}f(x) = b
  • \lim_{x\to b}g(x) = l

Alors \lim_{x\to a}g\circ f (x)=l

Interprétation schématique[modifier | modifier le code]


\begin{array}{ccccc}
  I & \overset{f}{\longrightarrow} & J & \overset{g}{\longrightarrow} & \mathbb{R} \\
  a & \to & \underset{x\to a}{\lim}f(x) & & \\
  & & \shortparallel & & \\
  & & b & \to & \underset{X\to b}{\lim}g(X) \\
  & & & & \shortparallel \\
  & & & & l \\
\end{array}

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit f la fonction définie sur ]1;+\infty[ par f(x)= \ln \left(\frac{x}{x-1}\right). On cherche la limite de f en 1^+.

On peut schématiser le problème par :


\begin{array}{ccccc}
  x & \to & \cfrac{x}{x-1} & & \\
  & & \shortparallel & & \\
  & & X & \to & \ln X \\
  1^+ & \to & +\infty & \to & +\infty
\end{array}

Plus formellement :

  • \lim_{x\to 1^+} \frac{x}{x-1} = +\infty;
  • \lim_{X\to +\infty} \ln X = +\infty.

Par composition de limites : \lim_{x\to 1^+}f(x) = +\infty

Composition d'une fonction et d'une suite[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]