Opérations sur les limites

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Cette page est une annexe de l'article « Limite (mathématiques élémentaires) », qui explique comment traduire en termes de limites les opérations usuelles : addition, multiplication, composition

Tous les résultats listés ici sont valables à la fois pour les limites de fonctions et pour les limites de suites.

Opérations algébriques[modifier | modifier le code]

On considère ici le cas où l'on effectue les opérations algébriques élémentaires sur des fonctions ou des suites dont on connaît les limites. Dans la plupart des cas, on peut conclure, mais parfois, une étude supplémentaire est nécessaire, on parle de forme indéterminée, ou FI. Ces cas seront traités à part.

Multiplication par un réel[modifier | modifier le code]

On peut multiplier une suite ou une fonction par un réel fixé  ; on obtient alors :

  • la suite définie par :  ;
  • la fonction définie par : .

Alors on peut écrire le tableau suivant, selon que la suite converge vers une limite finie ou diverge vers  :

On a exactement le même tableau pour les cas d'une fonction . Nous ne mentionnerons pas le point , réel ou , en lequel on considère la limite de , que nous noterons donc simplement . La limite de est :

Addition[modifier | modifier le code]

On peut additionner deux suites et ou deux fonctions et  :

  • la suite est définie par :  ;
  • la fonction est définie par : .

On peut donner la limite de la suite en fonction des limites respectives des suites et (resp. la limite de la fonction en un point , en fonction des limites en de et ). Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

  (resp. )
(resp. )
FI
FI

Multiplication[modifier | modifier le code]

On peut multiplier deux suites et ou deux fonctions et  :

  • la suite est définie par :  ;
  • la fonction est définie par : .

On peut donner la limite de la suite en fonction des limites respectives des suites et (resp. la limite de la fonction en un point en fonction des limites en de et ). Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

  (resp. )
(resp. )
FI FI
FI
FI

Division[modifier | modifier le code]

On peut diviser une suite par une suite vérifiant ou une fonction par une fonction vérifiant pour tout au voisinage du point considéré :

  • la suite est définie par :  ;
  • la fonction est définie par : pour tous les tels que .

On peut donner la limite de la suite en fonction des limites respectives des suites et (resp. la limite de la fonction en un point en fonction des limites en de et ). Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

  (resp. )
(resp. )
FI FI
FI FI
FI FI
FI FI

Formes indéterminées[modifier | modifier le code]

Les formes indéterminées sont soit de type additif : , soit de type multiplicatif : , ou . Notons que certaines formes indéterminées sont plus "camouflées" et on ne retrouve l'une des formes précédentes qu'après passage à l'exponentielle du logarithme népérien.

Pour parvenir à lever l'indétermination, on utilise une ou plusieurs des techniques suivantes :

Les articles suivants traitent plus en détail ces techniques :

Exemple :

On cherche à calculer

Or,

donc on est dans un cas de forme indéterminée « additive » ; on factorise l'expression :

et

donc on peut conclure d'après les règles sur la multiplication :

Composition[modifier | modifier le code]

Propriété[modifier | modifier le code]

Soient et deux intervalles non triviaux, et deux applications telles que , et un point de ou une borne de .

Composition d'une fonction et d'une suite[modifier | modifier le code]

Soient comme précédemment, et une suite à valeurs dans .

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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