Théorème du collage

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Fougère de Barnsley, construite à partir de copies d'elle-même

En mathématiques le théorème du collage démontre l'existence d'une technique constructive d'approximations de tout ensemble compact de points dans l'espace euclidien (tel qu'une image) par l'attracteur d'un système de fonctions itérées, à tout degré de précision souhaité.

En termes simples, il prouve qu'on peut recouvrir toute forme compacte de l'espace par des copies d'elle-même[1].

Ce théorème, utilisé en compression fractale, a été démontré en 1985 par Michael Barnsley[2].

Le théorème[modifier | modifier le code]

Collage inspiré par une feuille d'arbre et attracteur associé

Soit X un espace métrique complet. Soit l'ensemble des parties compactes non vides de X. On munit d'une structure d'espace métrique complet avec , la distance de Hausdorff sur [3],[4]. Soit l'ensemble à approcher, et soit >0. Alors il existe une famille de contractions (IFS) sur X, avec rapport de contraction s, telle que :

.

Et l'on a

A est l'attracteur de l'IFS.

Remarques[modifier | modifier le code]

  • La dernière inégalité découle immédiatement de l'inégalité

valable pour tout et tout IFS sur X, d'attracteur A et de rapport de contraction s[5].

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Voici dans le cadre ci-contre une famille de 4 contractions affines inspirées par une feuille d'arbre dont on aura dessiné le contour et colorié l'intérieur sur une feuille de papier, dessin qui jouera le rôle de . On a fait en sorte que soit assez petite et que s soit de l'ordre de 0,5. On obtient l'attracteur à droite. Cet exemple permet de comprendre ce que l'on appelle le problème inverse, qui est la recherche de méthodes automatiques pour obtenir un ifs qui approche une image donnée[8].

Ces quelques objets, parfaitement définis mathématiquement, donnent une petite idée des motivations qui ont pu animer depuis les années 1980 des mathématiciens[11].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. « À la découverte d’une méthode de fabrication d’images fractales. »
  2. M. F. Barnsley, S. Demko, "Iterated Function Systems and the Global Construction of Fractals," The Proceedings of the Royal Society of London A 399, pp. 243-275 (1985)
  3. « Construction de fractales par la méthode des IFS, p.27 »
  4. a et b Jean Dieudonné, Éléments d'analyse 1, gauthier-villars (ISBN 2040104100), problème 3, p.61
  5. (en) Barnsley, M. F. (Michael Fielding), 1946-, Fractals everywhere, Academic Press Professional, (ISBN 0120790696, OCLC 28025975, lire en ligne), p.94, p. 98
  6. « systeme de fonctions iterees, p.21 »
  7. (en) « Expository Paper of Sandra S. Snyder », sur scimath.unl.edu
  8. (en) « A review of the fractal image compression literature », sur Universitat Freiburg
  9. « Arbre fractal », sur mathcurve de robert ferreol
  10. (en) collectif, The science of fractal images, springer-verlag, (ISBN 0387966080), p.236-237
  11. (en) Peitgen, Heinz-Otto, 1945-, The beauty of fractals : images of complex dynamical systems, Springer-Verlag, (ISBN 3540158510, OCLC 13331323, lire en ligne), PREFACE

Liens externes[modifier | modifier le code]