Théorème de von Staudt-Clausen

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En théorie des nombres, le théorème de von Staudt-Clausen est un résultat sur la partie fractionnaire des nombres de Bernoulli non entiers.

Précisément, si n = 2k est un entier pair non nul et si l'on ajoute 1/p à Bn pour tous les nombres premiers p tel que p – 1 divise n, on obtient un nombre entier :

La propriété est également vérifiée pour n = 1 : B1 + 1/2 = 0. (Pour les autres nombres de Bernoulli d'indice impair, on obtient 1/2.)

Par conséquent, les nombres de Bernoulli non nuls de rang pair B2k (k ≥ 1) s'écrivent :

A2k est un nombre entier.

Ce fait permet immédiatement de caractériser les dénominateurs des nombres de Bernoulli Bn non entiers comme le produit de tous les nombres premiers p tel que p – 1 divise n ; par conséquent, les dénominateurs sont sans carré et, si n est pair, divisibles par 6.

Le résultat fut nommé ainsi en l'honneur de Karl von Staudt et Thomas Clausen, qui l'ont découvert indépendamment en 1840.

Exemples[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]