Théorème de récurrence de Poincaré

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Le théorème de récurrence de Poincaré dit que, pour presque toutes les « conditions initiales », un système dynamique conservatif dont l'espace des phases est de « volume » fini va repasser au cours du temps aussi près que l'on veut de sa condition initiale, et ce de façon répétée.

Contexte[modifier | modifier le code]

Système dynamique[modifier | modifier le code]

Soit un système dynamique mesuré, c’est-à-dire un triplet où :

  • est un espace mesurable, qui représente l'espace des phases du système.
  • est une mesure finie sur ,
  • est une fonction mesurable préservant la mesure , c’est-à-dire telle que :

Récurrence d'un point[modifier | modifier le code]

Soit un sous-ensemble mesurable. Un point est dit récurrent par rapport à A si et seulement si ,il existe un entier pour lequel :

Théorème de récurrence de Poincaré[modifier | modifier le code]

Soit un sous-ensemble mesurable pour la mesure . Alors, presque tous les points sont récurrents par rapport à A.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Soit p un entier naturel. On peut définir l'ensemble :

Comme sous-ensemble mesurable de X, il vérifie :

C'est aussi un sous-ensemble de l'ensemble correspondant au cas particulier p = 0 :

où :

En remarquant qu'on peut écrire :

on en déduit que :


la deuxième égalité résultant de la conservation de la mesure. Le sous-ensemble possède donc la même mesure que l'ensemble  ; on en déduit que le complémentaire à dans est de mesure nulle :

Comme , on en déduit

Autrement dit, l'ensemble des points x de A tels que pour tout est de mesure nulle.

En conclusion, en tant que réunion dénombrable des ensembles précédents pour , l'ensemble de points non récurrents par rapport à A est de mesure nulle.

Histoire[modifier | modifier le code]

Le théorème a été publié par Poincarré en 1890 dans l'article Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique[1]. Ce mémoire vaudra à son auteur le prix du roi Oscar, roi de Norvège et de Suède et passionné de mathématiques. Le jury était composé de Weierstrass, Mittag-Leffler et Hermite. L'histoire de ce mémoire est célèbre ; lire par exemple (en) June Barrow-Green, Poincaré and the Three Body Problem, AMS & LMS, coll. « History of Mathematics » (no 11), (lire en ligne).

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. Henri Poincaré, « Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique », Acta Mathematica, vol. 13,‎ , p. 1-270

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]