Théorème de prolongement de M. Riesz

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Le théorème de prolongement de M. Riesz a été démontré par le mathématicien Marcel Riesz lors de son étude du problème des moments.

Formulation[modifier | modifier le code]

Dans un espace vectoriel réel E, soient F un sous-espace vectoriel et K un cône convexe.

Une forme linéaire

est dite K-positive si

Un prolongement K-positif de φ est une forme linéaire

Il n'en existe pas toujours : déjà en dimension 2, pour

φ n'a pas de prolongement K-positif.

Cependant, une condition suffisante d'existence d'un prolongement K-positif est :

Démonstration[modifier | modifier le code]

Par récurrence transfinie, il suffit de considérer le cas E = F⊕ℝy.

Dans ce cas, étendre linéairement φ : F → ℝ en ψ : E → ℝ revient à choisir un réel a et à poser

En considérant les fy qui appartiennent à K et en distinguant deux cas suivant le signe de λ, la condition sur a pour que la K-positivité de φ se transmette à ψ s'écrit alors :

(Remarquons que comme y et –y appartiennent à E = K + F = K – F par hypothèse, les deux ensembles φ((y – K)∩F) et φ((y + K)∩F) sont non vides, si bien que la borne supérieure du premier appartient à ]–∞, +∞] et la borne inférieure du second à [–∞, +∞[.)

Le choix d'un tel réel a est donc possible dès que

et cette condition est assurée par la K-positivité de φ car sous les hypothèses ci-dessus, le vecteur f ' – f appartient à F∩K.

Corollaire : théorème de prolongement de Krein[modifier | modifier le code]

Dans un espace vectoriel réel E, soient K un cône convexe et x un vecteur tel que

Alors il existe sur E une forme linéaire K-positive ψ telle que ψ(x) = 1.

Références[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Théorème de Hahn-Banach