Théorème de monodromie

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Le théorème de monodromie est un outil puissant d'analyse complexe pour étendre une propriété locale (de germes) à une propriété globale (de fonction). On l'utilise par exemple dans certaines preuves des théorèmes de Picard pour inverser globalement la fonction j (invariant modulaire) aux points où sa dérivée est non nulle, alors que l'inversion n'est a priori que locale.

Théorème de monodromie[modifier | modifier le code]

Soit U ouvert connexe de , a,b\in U. Soit \alpha=(a,\tau_af) un germe de fonction analytique prolongeable le long de tout chemin dans U issu de a.

Si \gamma_1,\gamma_2 sont deux chemins homotopes dans U reliant a et b alors ils aboutissent sur un même germe \beta.

De plus, si U est simplement connexe, il existe une fonction analytique sur U dont le germe en a est \alpha.

Exemple 1[modifier | modifier le code]

On prend

U=\C^*,~a=1\text{ et }\alpha=\left(1,\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n}(z-1)^n\right).

On aura reconnu la série de la détermination principale du logarithme sur D(1, 1). Le germe se prolonge le long de tout chemin de ℂ* par la formule : \int\limits_\gamma \frac{{\rm d}w}w.

D'après le théorème de monodromie, on en déduit que si deux chemins γ et δ sont homotopes dans ℂ*, ils aboutissent au même germe du logarithme.

L'homotopie des chemins se lit géométriquement : « le lacet γ – δ n'entoure pas le point 0 ». En revanche si les chemins ne sont pas homotopes, on voit facilement que les germes sont distincts dans ce cas : le logarithme principal a une discontinuité de 2iπ à la traversée de la demi-droite réelle négative.

Exemple 2[modifier | modifier le code]

Bien sûr, la simple connexité de U n'est pas une condition nécessaire : avec

U=\C\setminus\lbrace 1\rbrace,~a=0\text{ et }\alpha=\left(0,\sum_{k\in\N}z^k\right),

on reconnaît la série géométrique ; elle converge uniformément sur les compacts de D(0, 1) vers f:z\mapsto\frac{1}{1-z}. Alors f est analytique sur U et prolonge le germe \alpha sans pour autant que U soit simplement connexe.