Théorème de monodromie

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Le théorème de monodromie est un outil puissant d'analyse complexe pour étendre une propriété locale (de germes) à une propriété globale (de fonction). On l'utilise par exemple dans certaines preuves des théorèmes de Picard pour inverser globalement la fonction j (invariant modulaire) aux points où sa dérivée est non nulle, alors que l'inversion n'est a priori que locale.

Théorème de monodromie[modifier | modifier le code]

Soit U ouvert connexe de , . Soit un germe de fonction analytique prolongeable le long de tout chemin dans U issu de .

Si sont deux chemins homotopes dans U reliant et alors ils aboutissent sur un même germe .

De plus, si U est simplement connexe, il existe une fonction analytique sur U dont le germe en est .

Exemple 1[modifier | modifier le code]

On prend

On aura reconnu la série de la détermination principale du logarithme sur D(1, 1). Le germe se prolonge le long de tout chemin de ℂ* par la formule :

D'après le théorème de monodromie, on en déduit que si deux chemins γ et δ sont homotopes dans ℂ*, ils aboutissent au même germe du logarithme.

L'homotopie des chemins se lit géométriquement : « le lacet γ – δ n'entoure pas le point 0 ». En revanche si les chemins ne sont pas homotopes, on voit facilement que les germes sont distincts dans ce cas : le logarithme principal a une discontinuité de 2iπ à la traversée de la demi-droite réelle négative.

Exemple 2[modifier | modifier le code]

Bien sûr, la simple connexité de U n'est pas une condition nécessaire : avec

on reconnaît la série géométrique ; elle converge uniformément sur les compacts de D(0, 1) vers . Alors est analytique sur U et prolonge le germe sans pour autant que U soit simplement connexe.