Théorème de l'Huilier

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Notations dans un triangle sphérique

En trigonométrie sphérique, le théorème de l'Huilier relie l'aire d'un triangle sphérique à la longueur de ses côtés ; il constitue ainsi une généralisation de la formule de Héron à une géométrie non euclidienne.

Dans un triangle sphérique (voir figure ci-contre) dessiné sur la sphère de rayon R, dont les côtés ont pour dimensions angulaires a, b et c, on note le demi-périmètre

.

Le théorème de l'Huilier énonce que la surface du triangle vaut

.

La formule de Héron est le cas limite de l'égalité ci-dessus quand la courbure de la sphère devient suffisamment petite et qu'on se rapproche de la géométrie euclidienne : en effet, lorsque a, b et c deviennent petits devant 1 — R est grand devant BC, AC et AB — l'approximation

peut être menée.

Voir également[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]