Théorème de Wolstenholme

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Le théorème de Wolstenholme, démontré en 1862 par Joseph Wolstenholme, énonce que pour tout nombre premier p\ge 5,  :

{{2p-1}\choose{p-1}} \equiv 1 \pmod{p^3}.

où les parenthèses désignent un coefficient binomial. Par exemple, avec p = 7, cela signifie que 1 ôté de {{13}\choose{6}}=1716 est un multiple de 7^3=343.

La congruence analogue modulo p2 avait été démontrée en 1819 par Charles Babbage.

La preuve originelle de Wolstenholme n'utilise que des calculs algébriques élémentaires. Il démontre d'abord que p^2 divise le numérateur du nombre harmonique d'ordre p-1 de 1 :

H_{p-1}=1+\frac12+\frac13+\ldots+\frac1{p-1}

Puis il démontre que p divise le numérateur du nombre harmonique d'ordre p-1 de 2  :

H^{(2)}_{p-1}=1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\ldots+\frac1{(p-1)^2}

Enfin, il déduit son théorème de ces deux résultats, qui sont parfois eux aussi appelés théorème de Wolstenholme.

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) J. Wolstenholme, « On certain properties of prime numbers », The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, vol. 5,‎ 1862, p. 35–39 (lire en ligne)
  • (en) C. Babbage, « Demonstration of a theorem relating to prime numbers », The Edinburgh philosophical journal, vol. 1,‎ 1819, p. 46–49 (lire en ligne)

Articles connexes[modifier | modifier le code]