Théorème de Wolstenholme

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Le théorème de Wolstenholme, démontré en 1862 par Joseph Wolstenholme, énonce que pour tout nombre premier p supérieur ou égal à 5,

Par exemple pour p = 7 : le coefficient binomial est égal à 1716 = 1 + 73×52.

La congruence analogue modulo p2 avait été démontrée en 1819 par Charles Babbage.

La preuve originelle de Wolstenholme n'utilise que des calculs algébriques élémentaires. Il démontre d'abord que le numérateur du (p – 1)-ième nombre harmonique

est multiple de p2, en déduit que le (p – 1)-ième nombre de Wolstenholme (le numérateur du nombre harmonique généralisé d'ordre 2

)

est multiple de p, puis déduit son théorème de ces deux résultats, qui sont parfois eux aussi appelés « théorème de Wolstenholme ».

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) J. Wolstenholme, « On certain properties of prime numbers », The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, vol. 5,‎ , p. 35-39 (lire en ligne)
  • (en) C. Babbage, « Demonstration of a theorem relating to prime numbers », The Edinburgh Philosophical Journal, vol. 1,‎ , p. 46-49 (lire en ligne)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Théorème de Lucas

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) Richard J. McIntosh, « On the converse of Wolstenholme's Theorem », Acta Arith., vol. 71, no 4,‎ , p. 381-389 (lire en ligne)
  • (en) J. W. L. Glaisher, « Congruences relating to the sums of products of the first n numbers and to other sums of products », Quart. J. Pure Appl. Math. (en), vol. 31,‎ , p. 1-35 (lire en ligne)
  • (en) J. W. L. Glaisher, « On the residues of the sums of products of the first p – 1 numbers, and their powers, to modulus p2 or p3 », Quart. J. Pure Appl. Math., vol. 31,‎ , p. 321-353 (lire en ligne)