Théorème de Slutsky

En probabilités, le théorème de Slutsky étend certaines propriétés algébriques de la convergence des suites numériques à la convergence des suites de variables aléatoires.

Le théorème porte le nom d'Eugen Slutsky. Le théorème de Slutsky est aussi attribué à Harald Cramér.

Énoncé

{X_n}, {Y_n} sont des suites de variables aléatoires à valeur respectivement dans R^p et R^q.

Théorème de Slutsky — Si X_n converge en loi vers X, et si Y_n converge en probabilité vers une constante c, alors le couple (X_n,Y_n) converge en loi vers le couple (X,c).

Par exemple, si les {X_n}, {Y_n} sont des vecteurs ou des matrices pouvant être ajoutés ou multipliés, on a la convergence en loi de X_n + Y_n vers X + c, et de Y_nX_n vers cX.

Remarque —  Dans l'énoncé du théorème, l'hypothèse « Y_n converge en probabilité vers une constante c » est en fait équivalente à l'hypothèse « Y_n converge en loi vers une constante c ».

Démonstration

L'implication directe est bien connue (preuve). Pour la réciproque il suffit de remarquer que $O:=\{x:d(x,c)<\epsilon \}$ est un ouvert et que par conséquent (voir le point 4 du Théorème porte-manteau)

$\liminf _{n}\mathbb {P} \left(Y_{n}\in O\right)\ \geq \ \mathbb {P} \left(c\in O\right)=1$

Notes :

1. L'hypothèse selon laquelle Y_n converge vers une constante est importante — si la limite était une variable non dégénérée, le théorème ne serait plus valide.
2. Le théorème reste valide lorsqu'on remplace toutes les convergences en loi par des convergences en probabilité.

À voir

Page liée

• Convergence de variables aléatoires

Bibliographie

• (en) G. Grimmett et D. Stirzaker, Probability and Random Processes, Oxford, 2001, 3^e éd.
• (en) Allan Gut, Probability: a graduate course, Springer-Verlag, 2005 (ISBN 0-387-22833-0)
• (de) E. Slutsky, « Über stochastische Asymptoten und Grenzwerte », Metron, vol. 5, n^o 3,‎ 1925, p. 3–89 Zbl 51.0380.03