Théorème de Rademacher

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En mathématiques, le théorème de Rademacher est un résultat d'analyse qui s'énonce ainsi :

« Soit A un ouvert de \R^n, et soit f:A \rightarrow \R^m une application lipschitzienne. Alors f est dérivable presque partout sur A. »

Il se ramène évidemment au cas m=1. Pour démontrer ensuite ce cas, on montre d'abord que pour tout vecteur unitaire v, f admet presque partout une dérivée dans la direction de v (on utilise pour cela qu'une fonction à variation bornée est dérivable presque partout, et le lemme de Fatou). On en déduit, en choisissant dans \R^n un ensemble dénombrable dense de directions, qu'il existe un ensemble de complémentaire négligeable sur lequel f est dérivable dans toutes ces directions et de dérivée donnée par son gradient. On montre pour finir que sur cet ensemble, f est dérivable. Cette dernière étape fait appel au théorème de différentiation de Lebesgue (qui s'applique à toute fonction absolument continue), mais utilise par ailleurs de façon cruciale que f est lipschitzienne.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Théorème d'Alexandrov (convexité) (en)