Théorème de Poincaré-Hopf

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En mathématiques, le théorème de Poincaré-Hopf (aussi connu sous le nom de « formule de Poincaré-Hopf », ou « théorème de l'indice de Poincaré-Hopf », ou encore « théorème de l'indice de Hopf ») est un important résultat en géométrie différentielle. Il a été prouvé en dimension 2 par Henri Poincaré et généralisé ultérieurement par Heinz Hopf.

Théorème — Soit une variété différentielle compacte. Soit un champ vectoriel sur avec des zéros isolés. Si a un bord, doit pointer dans la direction normale extérieure le long du bord. Nous avons alors la formule suivante :

ou la somme est celle des indices de tous les zéros isolés de et est la caractéristique d'Euler de .

Conséquence[modifier | modifier le code]

On en déduit en particulier le théorème de la boule chevelue : la caractéristique d'Euler-Poincaré de la sphère Sn valant 2 si n est pair, tout champ de vecteurs sur cette sphère doit s'annuler.


(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Poincaré–Hopf theorem » (voir la liste des auteurs).