Théorème de Noether (physique)

Emmy Noether est une mathématicienne allemande connue pour ses contributions majeures en algèbre abstraite et en physique théorique.

Le théorème de Noether exprime l'équivalence qui existe entre les lois de conservation et l'invariance du lagrangien d'un système par certaines transformations (appelées symétries) des coordonnées.

Démontré en 1915 et publié en 1918 par la mathématicienne Emmy Noether à Göttingen, ce théorème fut qualifié par Albert Einstein de « monument de la pensée mathématique » dans une lettre envoyée à David Hilbert en vue de soutenir la carrière de la mathématicienne.

Il est abondamment utilisé aujourd'hui par la physique théorique, où tout phénomène est abordé, chaque fois que possible, en matière de symétrie d'espace, de charges électriques, et même de temps.

Énoncés

Théorème de Noether — À toute transformation infinitésimale qui laisse invariante l'intégrale d'action correspond une grandeur qui se conserve.

Un autre énoncé équivalent est :

Théorème de Noether — À toute transformation infinitésimale qui laisse le Lagrangien d'un système invariant à une dérivée temporelle totale près correspond une grandeur physique conservée.

Chaque « invariance » traduit le fait que les lois de la physique ne changent pas lorsqu'une expérience subit la transformation correspondante, et donc, qu'il n'y a pas de référence absolue pour mener une telle expérience.

Démonstrations

Démonstration

Soit $q_{i}(s)$, un jeu de coordonnées généralisées qui dépendent continûment d'un paramètre $s$. Si le lagrangien $L$ est indépendant de $s$, c'est-à-dire $L(q_{i}(s),{\dot {q}}_{i}(s),t)=L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)$ avec $q_{i}=q_{i}(0)$, alors :

$I(q_{i},{\dot {q}}_{i})=\left.{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\frac {\mathrm {d} q_{i}(s)}{\mathrm {d} s}}\right|_{s=0}$

est une intégrale première, c'est-à-dire que I est invariant dans le temps : ${\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}=0$.

En effet :

${\frac {\mathrm {d} L}{\mathrm {d} s}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}(s)}}{\frac {\mathrm {d} q_{i}(s)}{\mathrm {d} s}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}(s)}}{\frac {\mathrm {d} {\dot {q}}_{i}(s)}{\mathrm {d} s}}=0$

${\frac {\mathrm {d} L}{\mathrm {d} s}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}(s)}}{\frac {\mathrm {d} q_{i}(s)}{\mathrm {d} s}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}(s)}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} q_{i}(s)}{\mathrm {d} s}}$ (en utilisant les équations d'Euler-Lagrange ${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}(s)}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}(s)}}$, et ${\frac {\mathrm {d} {\dot {q}}_{i}(s)}{\mathrm {d} s}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} q_{i}(s)}{\mathrm {d} s}}$)

${\frac {\mathrm {d} L}{\mathrm {d} s}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\left.{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}(s)}}{\frac {\mathrm {d} q_{i}(s)}{\mathrm {d} s}}\right|_{\forall \,s}\right)=0$

${\frac {\mathrm {d} L}{\mathrm {d} s}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\left.{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\frac {\mathrm {d} q_{i}(s)}{\mathrm {d} s}}\right|_{s=0}\right)=0$.

Autre démonstration

Soit un Lagrangien $L=L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)$ qui dépend de $N$ coordonnées généralisées $q_{i}=q_{i}(t)$, avec $i=1,...,N$. Selon le principe de moindre action, l'action $S=\int Ldt$ est stationnaire sur une trajectoire physique. Ceci mène directement aux équations d'Euler-Lagrange :

$$\forall i\quad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0.$$

Aussi, sous une transformation infinitésimale des coordonnées $q_{i}\rightarrow q_{i}'=q_{i}+\alpha .\delta q_{i}$, si le Lagrangien est invariant à une dérivée temporelle totale près (c.-à-d. : $L\rightarrow L'=L+\alpha .\delta L=L+\alpha {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}F(q_{i},t)$, pour une fonction quelconque $F(q_{i},t)$ qui ne dépend que des coordonnées généralisées et du temps), alors les équations du mouvement sont inchangées. Sous cette hypothèse, en calculant le Lagrangien au premier ordre du développement de Taylor, on obtient :

$${\begin{aligned}\alpha .\delta L&={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\alpha .\delta q_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\alpha .\delta {\dot {q}}_{i}\\&={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\alpha .\delta q_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\alpha .\delta q_{i}\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\alpha .\delta q_{i}\right)+\left[{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)\right]\alpha .\delta q_{i}.\end{aligned}}$$

Notons que le deuxième terme de la seconde ligne n'est autre que l'un des termes obtenable via la règle de Leibniz:

$${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\delta q_{i}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)\cdot \delta q_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\delta q_{i}\right)\end{aligned}}$$

Nous avons donc simplement remplacé ${\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\cdot \delta q_{i}$ par les autres termes de la règle en tenant compte du facteur $\alpha$.

Enfin, dans notre dernier ligne, le deuxième terme est nul car il s'agit de l'équation d'Euler-Lagrange pour $q_{i}$. Ainsi, par comparaison avec l'hypothèse de départ, on a :

$$F(q_{i},t)={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.\delta q_{i}.$$

On définit la quantité conservée du système :

$$C(q_{i},t)=F(q_{i},t)-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.\delta q_{i}=0$$

car

$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}C(q_{i},t)=0.$$

Théorie des champs classique

Le théorème de Noether est aussi valide en théorie des champs classique où le lagrangien est remplacé par une densité lagrangienne qui dépend de champs plutôt que de variables dynamiques. La formulation du théorème reste sensiblement la même :

Théorème de Noether — À toute transformation infinitésimale qui laisse la densité lagrangienne d'un système invariante à une quadridivergence près correspond une quantité conservée.

Démonstration

Soit une densité lagrangienne ${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}[\varphi _{i}(x),\partial _{\mu }\varphi _{i}(x),x]$ où $[\varphi _{i}(x),\partial _{\mu }\varphi _{i}(x),x]$ dénote une dépendance de la densité lagrangienne sur $N$ champs scalaires (la preuve peut se généraliser à des champs vectoriels ou tensoriels) $\varphi _{i}(x)$ ($i=1,...,N$) et de leur différentes dérivées partielles en espace et en temps ($\partial _{\mu }$ est l'opérateur de dérivation par rapport à l'indice $\mu \in \{0,...,3\}$ i.e.: $\partial _{\mu }\equiv {\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}$). Chaque champ dépend d'une unique variable d'espace-temps $x\equiv (x^{0},...,x^{3})$ où $x^{0}$ représente le temps et $x^{j}$ représente une des trois variables d'espace avec $j=1,...,3$. Selon le principe de moindre action, l'intégrale d'action $S[\varphi _{i}(x)]$ doit être stationnaire :

$$S\equiv \int {\mathcal {L}}[\varphi _{i}(x),\partial _{\mu }\varphi _{i}(x),x]d^{4}x$$

$$\delta S=0.$$

Ce principe d'action stationnaire mène directement aux équations d'Euler-Lagrange en théorie des champs :

$$\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi _{i})}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{i}}}=0$$

où la convention d'Einstein sur les indices répétés est utilisée ici. Soit une transformation infinitésimale d'un des champs $\varphi _{i}(x)\rightarrow \varphi _{i}'(x)=\varphi _{i}(x)+\alpha \Delta \varphi _{i}(x)$ où $\Delta \varphi _{i}(x)$ représente la déformation du champ et $\alpha$ est un paramètre infinitésimal (la preuve peut facilement être généralisée avec une déformation de plusieurs champs en même temps). Si la densité lagrangienne est invariante à une quadri-divergence près sous cette transformation infinitésimale, c'est-à-dire que :

$${\mathcal {L}}\rightarrow {\mathcal {L}}+\alpha \Delta {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}+\alpha \partial _{\mu }J^{\mu }(x)$$

pour une certaine fonction $J^{\mu }$. Alors, en comparant les termes au 1er ordre du développement de Taylor de la densité lagrangienne :

$${\begin{aligned}\alpha \Delta {\mathcal {L}}&={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{i}}}(\alpha \Delta \varphi _{i})+\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi _{i})}}\right)\partial _{\mu }(\alpha \Delta \varphi _{i})\\&=\alpha \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi _{i})}}\Delta \varphi _{i}\right)+\alpha \left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{i}}}-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi _{i})}}\right)\right]\Delta \varphi _{i}.\end{aligned}}$$

Le deuxième terme est nul car il s'agit de l'équation d'Euler-Lagrange pour le champ $\varphi _{i}$. On a donc finalement, par comparaison directe :

$$\partial _{\mu }J^{\mu }(x)=\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi _{i})}}\Delta \varphi _{i}\right)$$

Ainsi, la quantité conservée du système est la suivante :

$$j^{\mu }\equiv J^{\mu }(x)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi _{i})}}\Delta \varphi _{i}$$

car

$$\partial _{\mu }j^{\mu }=0.$$

Exemples

Propriété du système physique	Symétrie	Invariant
Espace homogène	Invariance par translation dans l'espace	Conservation de l'impulsion
Espace isotrope	Invariance par rotation dans l'espace	Conservation du moment cinétique
Système indépendant du temps	Invariance par translation dans le temps (les lois sont les mêmes tout le temps)	Conservation de l'énergie
Pas d'identité propre des particules	Permutation de particules identiques	Statistique de Fermi-Dirac, Statistique de Bose-Einstein
Pas de référence absolue pour la phase des particules chargées	Invariance par changement de phase	Conservation de la charge électrique

Voir aussi

Articles connexes

• Calcul des variations
• Second théorème de Noether (en)
• Mécanique lagrangienne
• Mécanique hamiltonienne
• Action (physique)
• Principe de moindre action
• Électromagnétisme
• Mécanique quantique
• Théorie quantique des champs
• Théorème de Noether (mathématiques)

Bibliographie

• Amaury Mouchet, L'Élégante Efficacité des symétries, chap. 10, Dunod, 2013 (ISBN 9782100589371) 240 pages
• (en) Nina Byers, « E. Noether's Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws », Proceedings of a Symposium on the Heritage of Emmy Noether, Université Bar-Ilan, Israël,‎ 2-4 décembre 1996, « physics/9807044 », texte en accès libre, sur arXiv.
• (en) G. Sardanashvily (en), Noether conservation laws in classical mechanics, 2003. « math-ph/0302027 », texte en accès libre, sur arXiv.
• (en) G. Sardanashvily, Noether conservation laws in quantum mechanics, 2003. « quant-ph/0302123 », texte en accès libre, sur arXiv.
• Yvette Kosmann-Schwarzbach, Les Théorèmes de Noether : invariance et lois de conservation au XX^e siècle. Avec une traduction de l'article original, « Invariante Variationsprobleme », avec la collaboration de Laurent Meersseman, École Polytechnique, 2^e éd., 2004