Théorème de Moivre-Laplace

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Une planche de Galton illustre le fait que la loi binomiale tende vers la loi normale.

En théorie des probabilités, selon le théorème de Moivre-Laplace, si la variable suit une loi binomiale d'ordre et de paramètre , alors la variable

converge en loi vers une loi normale centrée et réduite .

Abraham de Moivre fut le premier à établir ce théorème en 1733 dans le cas particulier :  ; et Laplace a pu le généraliser en 1812 pour toute valeur de comprise entre 0 et 1. Il s'agit d'un cas particulier du théorème central limite.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Application[modifier | modifier le code]

Autrement dit, si suit une loi binomiale de paramètres n et p et si est la fonction de répartition de alors, pour tout réel t, on a :

ce qui signifie que, pour n assez grand,

ce qui donne, en posant , l'approximation suivante pour la probabilité d'avoir au plus succès :

Cette approximation est bonne en général pour .

Pratiquement, il faut cependant faire attention au fait que les variables sont discrètes. Graphiquement, cela se traduit par le fait que les extrémités des bâtons du diagramme de la loi binomiale sont proches de la courbe de densité de la loi normale . On peut obtenir une valeur approchée de par le calcul de la surface sous la courbe de densité comprise entre les droites d'abscisse et .

On appelle cette procédure la « correction de continuité ».

Exemple[modifier | modifier le code]

 ;  ;

D'après les tables, la valeur exacte pour .

La formule d'approximation avec une loi donne le résultat :

soit

L'erreur d'approximation est faible.

Pour , l'approximation usuelle fournit

Si nous n'avions pas corrigé la continuité de l'approximation nous aurions eu :

Cette dernière valeur est assez imprécise.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Denis Lantier, Didier Trotoux, « La Loi des grands nombres : le théorème de De Moivre-Laplace », dans Contribution à une approche historique de l'enseignement des mathématiques : actes de la 6e université d'été interdisciplinaire sur l'histoire des mathématiques, Besançon, Presses universitaires de Franche-Comté/université de Franche-Comté, coll. « Les publications de l'IREM de Besançon », 1995, 490 p. (ISBN 2-909963-136 et 978-2909963136), p. 259-294 [lire en ligne] [PDF].

Articles connexes[modifier | modifier le code]