Théorème de Koecher-Vinberg

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En algèbre d'opérateurs, le théorème de Koecher-Vinberg est un théorème de reconstruction pour les algèbres de Jordan réelles. Il a été prouvé indépendamment par Max Koecher en 1957[1] et Ernest Vinberg en 1961[2]. Il permet d'établir une bijection entre les algèbres de Jordan formellement réelles et des objets appelés « domaines de positivité ».

Énoncé[modifier | modifier le code]

Un cône convexe  est dit :

  • régulier si  quand et  sont dans l'adhérence  ;
  • autodual (dans un espace euclidien) s'il est égal à son cône dual  ;
  • homogène si pour tout couple de points il existe une application linéaire  dont la restriction à est une bijection et qui vérifie .

Le théorème de Koecher-Vinberg énonce que ces précédentes propriétés caractérisent précisément les cônes positifs d'algèbres de Jordan.

Théorème — Il existe une bijection entre les algèbres de Jordan formellement réelles et les cônes convexes ayant les propriétés suivantes :

  • ouvert ;
  • régulier ;
  • homogène ;
  • autodual.

Les cônes convexes vérifiant ces quatre propriétés sont appelés « domaines de positivité » ou « cônes symétriques (en) ». Le domaine positivité d'une algèbre de Jordan formellement réelle  est l'intérieur de son cône « positif » .

Preuve[modifier | modifier le code]

Voir Koecher 1999[3] ou Faraut et Korányi 1994[4].

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Koecher–Vinberg theorem » (voir la liste des auteurs).
  1. (de) Max Koecher, « Positivitätsbereiche im Rn », Amer. J. Math., vol. 97, no 3,‎ , p. 575-596 (DOI 10.2307/2372563).
  2. (en) E. B. Vinberg, « Homogeneous Cones », Soviet. Math. Dokl., vol. 1,‎ , p. 787-790.
  3. (en) Max Koecher, The Minnesota Notes on Jordan Algebras and Their Applications, Springer, , 173 p. (ISBN 3-540-66360-6, lire en ligne).
  4. (en) Jacques Faraut et Adam Korányi, Analysis on Symmetric Cones, Oxford University Press, .