Théorème de Jung

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En géométrie, le théorème de Jung est une inégalité entre le diamètre d'un ensemble de points dans un espace euclidien et le rayon de la boule englobante minimale de cet ensemble. Il est nommé d'après Heinrich Jung, qui a étudié cette inégalité en 1901.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Toute partie bornée non vide E de ℝn est contenue dans une unique boule fermée de rayon minimal, et ce rayon r est relié au diamètre d = supa, bEb – a2 de la partie E par l'inégalité :

Le cas limite de l'égalité est atteinte par le n-simplexe régulier.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Existence d'une boule de rayon minimum : l'application qui, à tout point M, associe la borne supérieure des distances de M aux points de E, est continue (car 1-lipschitzienne) et tend vers +∞ quand M s'éloigne à l'infini, donc elle atteint son minimum r, en un point C, centre d'une telle boule.

Unicité de C : se déduit du théorème de la médiane.

Majoration : d'après le théorème de Helly, il suffit de la démontrer dans le cas où E est fini et de cardinal inférieur ou égal à n + 1. Notons alors M0, … , Mm (m ≤ n) les points de E dont la distance au centre C vaut exactement r. On se convainc rapidement par un argument variationnel que C appartient à leur enveloppe convexe. Il existe donc des réels

Pour chaque indice k de 0 à m on a alors :

d'où, en sommant :

ce qui conclut.

Théorème de Jung dans le plan[modifier | modifier le code]

Le cas le plus commun du théorème de Jung est dans le plan euclidien avec n = 2. Dans ce cas, le théorème assure qu'il existe un cercle entourant tous les points dont le rayon satisfait

Le cas d'égalité est obtenu pour un triangle équilatéral.

Références[modifier | modifier le code]