Théorème de Gauss (physique)

En électromagnétisme, le théorème de Gauss permet de calculer le flux d'un champ électrique à travers une surface fermée connaissant les charges électriques qu'elle renferme.

Le flux du champ électrique à travers une surface $S$ fermée est égal à la somme des charges électriques contenues dans le volume $V$ délimité par cette surface, divisée par la permittivité du vide.

Théorème de Gauss appliqué au champ électrique

Le théorème de Gauss est la forme intégrale de l'équation de Maxwell-Gauss, $\textstyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$. À l'aide du théorème de flux-divergence, il vient :

$\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\overrightarrow {E}}\,{\overrightarrow {\mathrm {d} S}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\rho \,\mathrm {d} V$,

$\Phi _{E}={\frac {Q_{int}}{\varepsilon _{0}}}$,

où

• $\textstyle \Phi _{E}=\int \!\!\int _{S}{\overrightarrow {E}}\,{\overrightarrow {\mathrm {d} S}}$ est le flux du champ électrique à travers une surface fermée $S$ contenant un volume $V$,
• $\varepsilon _{0}$ est la permittivité du vide,
• $\rho$ est la densité volumique de charge dans le volume,
• ${\overrightarrow {\mathrm {d} S}}$ est un élément de surface,
• $\mathrm {d} V$ est un élément de volume,
• $Q_{int}$ est la charge totale comprise à l'intérieur du volume.

Le théorème de Gauss trouve son utilité pour calculer le champ électrique en un certain point, calcul qui serait plus complexe si la loi de Coulomb était utilisée. Il faut toutefois que la répartition des charges présente une symétrie et que la surface de Gauss choisie soit adéquate. C'est une propriété générale en physique provenant du principe de Curie : les effets ont, au moins, les mêmes symétries que les causes.

Théorème de Gauss appliqué au champ gravitationnel

Il est également possible de définir un théorème de Gauss appliqué cette fois-ci au flux du champ de gravitation ${\overrightarrow {g}}$ à travers une surface fermée $S$ contenant un volume $V$ :

$\Phi _{g}=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\overrightarrow {g}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d} S}}=-4\pi \,G\,\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\rho _{m}\,\mathrm {d} V=-4\pi \,G\,M_{int}$,

où $G$ est la constante de gravitation universelle, $\rho _{m}$ est la densité de masse du milieu et $M_{int}$ est la masse totale comprise à l'intérieur du volume.

Voir aussi

• Surface de Gauss
• Théorème de flux-divergence
• Théorème de Gauss (gravitation)
• Théorème de Stokes