Théorème de Gauss-Lucas
En mathématiques, le théorème de Gauss-Lucas, ou théorème de Lucas, établit une propriété des polynômes complexes. Il énonce que les racines du polynôme dérivé sont situées dans l'enveloppe convexe de l'ensemble des racines du polynôme d'origine[1].
Ce résultat est utilisé de façon implicite en 1836 par Carl Friedrich Gauss et prouvé en 1874 par Félix Lucas[2],[note 1].
Motivation
Il est facile de remarquer que si est un polynôme du second degré, le zéro de ' est la demi-somme des zéros de .
Par ailleurs, si un polynôme de degré à coefficients réels admet zéros réels distincts , on voit en utilisant le théorème de Rolle que les zéros du polynôme dérivé sont dans l'intervalle .
Le résultat suivant peut être vu comme une généralisation de cette propriété des polynômes.
Énoncé
Soit un polynôme non constant à coefficients complexes. Alors tout zéro de ' appartient à l'enveloppe convexe de l'ensemble des zéros de .
Preuve
Soit la décomposition de en facteurs irréductibles : le complexe est le coefficient dominant du polynôme, les complexes en sont les zéros distincts, les entiers leurs multiplicités respectives.
On a alors
En particulier,
ce qui s'écrit aussi
En prenant les conjugués, on voit que est un barycentre à coefficients positifs des .
Le cas où est aussi zéro de est évident.
Notes et références
Notes
- Ne pas confondre avec Édouard Lucas.
Références
- Pascal Boyer, Petit compagnon des nombres et de leurs applications, Calvage et Mounet, , 648 p. (ISBN 978-2-916352-75-6), III. Corps et théorie de Galois, chap. 6.5 (« Localisation des racines de P' »), p. 357.
- Félix Lucas, Sur une application de la Mécanique rationnelle à la théorie des équations, C.R. Hebd. Séances Acad. Sci. LXXXIX (1879), 224–226 [lire en ligne].
Voir aussi
Articles connexes
Bibliographie
(en) Paul Erdős et Ivan Niven, « On the roots of a polynomial and its derivative », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 54, , p. 184-190 (lire en ligne)