Théorème de Froda

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En analyse réelle, le théorème de Froda, redécouvert en 1929 par le mathématicien roumain Alexandru Froda (en) mais dont des versions plus générales avaient été trouvées de 1907 à 1910 par Grace Chisholm Young et William Henry Young, assure que l'ensemble des points de discontinuité de première espèce d'une fonction réelle d'une variable réelle (définie sur un intervalle) est au plus dénombrable[1].

Discontinuités de première espèce[modifier | modifier le code]

En un point x où une fonction f est discontinue, la discontinuité est dite de première espèce si f admet tout de même en x une limite à gauche et une limite à droite finies.

Remarquons que pour une fonction monotone, ce type de discontinuité est le seul possible (et l'ensemble de ces points peut être un ensemble au plus dénombrable arbitraire[2]). Il en va de même, plus généralement, pour toute fonction réglée à valeurs dans un espace de Banach.

Démonstration[modifier | modifier le code]

L'ensemble des points de discontinuité de première espèce de f est la réunion, pour tous les entiers n > 0, des sous-ensembles Dn des points en lesquels, de plus, l'oscillation de f est supérieure à 1/n, et les Dn sont discrets. Cette preuve montre que l'énoncé reste vrai pour une fonction à valeurs dans n'importe quel espace métrique[3].

Généralisation[modifier | modifier le code]

La version antérieure des Young[4],[5],[6] est nettement plus forte que celle de Froda :

Sauf pour un ensemble au plus dénombrable de réels x, l'ensemble des valeurs d'adhérence à gauche de f au point x est égal à celui à droite et f(x) leur appartient.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Alexandre Froda, Sur la distribution des propriétés de voisinage des fonctions de variables réelles : Première thèse, Paris, Hermann,‎ (lire en ligne), p. 18 : « Une fonction uniforme de variable réelle ne peut présenter, qu'un ensemble fini ou dénombrable de discontinuités de première espèce.On était loin d'y voir une propriété appartenant à toute fonction uniforme, puisque l'on démontrait, par exemple, indépendamment, que « Une fonction à variation bornée ne peut avoir, au plus, qu'une infinité dénombrable de discontinuités » et que « Tous les points de discontinuité d'une fonction à variation bornée sont de première espèce », sans remarquer que la première propriété n'est qu'une conséquence de la seconde. »
  2. (en) Bernard R. Gelbaum et John M. H. Olmsted, Counterexamples in Analysis, Holden-Day, 1964, 18. p. 28 [lire en ligne].
  3. Gustave Choquet, Cours d'analyse, tome II : Topologie, prop. 13.2 du chap. V, p. 147 (ou du chap. II, p. 151 de la traduction en anglais).
  4. (en) Andrew M. Bruckner (en) et Brian S. Thomson, « Real variable contributions of G. C. Young and W. H. Young », Expositiones Mathematicae, vol. 19, no 4,‎ , p. 337-358 (lire en ligne) : § 6, p. 344-346.
  5. (en) E. F. Collingwood (en) et A. J. Lohwater (en), The Theory of Cluster Sets, CUP,‎ (ISBN 978-0-521-60481-9, lire en ligne), p. 15.
  6. (en) W. H. Young, « On the discontinuities of a function of one or more real variables », Proc. London Math. Soc., 2e série, vol. 8, no 1,‎ , p. 117-124 (DOI 10.1112/plms/s2-8.1.117). Voir aussi (en) Henry Blumberg, « A theorem on semi-continuous functions », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 24, no 8,‎ , p. 369-416 (lire en ligne).