Théorème de Dvoretzky-Rogers

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Ne doit pas être confondu avec Théorème de Dvoretzky.

Le théorème de Dvoretzky-Rogers, dû à Aryeh Dvoretzky et Claude Ambrose Rogers[1], est un théorème mathématique d'analyse fonctionnelle sur les séries dans les espaces de Banach.

Lemme de Dvoretzky-Rogers[modifier | modifier le code]

Ce lemme sur les espaces vectoriels normés de dimension finie garantit l'existence d'une base dans laquelle la norme euclidienne des coordonnées fournit une certaine estimation de la norme :

Lemme de Dvoretzky-Rogers[2] — Dans tout espace vectoriel normé de dimension n, il existe des vecteurs unitaires x1, … , xn tels que pour 1 ≤ mn et pour tous réels t1, … , tm,

La qualité de l'estimation dépend du nombre m de termes de la somme. La valeur maximale du coefficient, égale à 1+n – 1, dépend de la dimension, mais on obtient une majoration indépendante de la dimension si l'on restreint le nombre m de termes, comme dans le corollaire suivant, qui est l'ingrédient essentiel de la démonstration du théorème de Dvoretzky-Rogers :

Corollaire — Dans tout espace vectoriel normé de dimension supérieure ou égale à m(m – 1), il existe des vecteurs unitaires x1, … , xm tels que pour tous réels t1, … , tm,

Théorème de Dvoretzky-Rogers[modifier | modifier le code]

Théorème de Dvoretzky-Rogers — Soit E un espace de Banach de dimension infinie. Pour toute suite (an)n∈ℕ de réels positifs de carré sommable, il existe une suite (xn)n∈ℕ de vecteurs de E telle que ║xn║ = an et que la série des xn soit commutativement convergente.

Pour le démontrer, on considère une suite de sous-espaces de dimensions finies appropriées, dans lesquels on choisit, à l'aide du corollaire ci-dessus, les vecteurs voulus.

Conséquences[modifier | modifier le code]

Une caractérisation des espaces de dimension finie[modifier | modifier le code]

En appliquant le théorème de Dvoretzky-Rogers à des an positifs tels que la somme des an2 soit finie mais pas la somme des anpar exemple an = 1/n —, on conclut que si un espace de Banach est de dimension infinie, alors il contient des séries commutativement convergentes mais non absolument convergentes. Comme le théorème de réarrangement de Riemann garantit la réciproque, on en déduit le corollaire suivant (parfois nommé aussi « théorème de Dvoretzky-Rogers ») :

Un espace de Banach E est de dimension finie si et seulement si, dans E, toute série commutativement convergente est absolument convergente.

Un théorème d'Orlicz[modifier | modifier le code]

D'après un théorème de Władysław Orlicz, toute série commutativement convergente ∑nxn dans Lp([0, 1]) (avec 1 ≤ p < ), vérifie ∑nxnr < +∞ pour r = max(2, p). Par conséquent, dans L2([0, 1]), une série ∑nxn telle que ∑nxn2 = +∞ ne peut pas être commutativement convergente. Ceci montre que l'hypothèse du théorème de Dvoretzky-Rogers ne peut pas être affaiblie puisque pour cet espace, la condition suffisante est également nécessaire.

Inversement, le théorème de Dvoretzky-Rogers rend naturelle, dans le théorème d'Orlicz, la restriction aux exposants supérieur ou égaux à 2, puisqu'il montre que pour tout espace de Banach de dimension infinie, si un nombre r est tel qu'une série commutativement convergente ∑nxn vérifie toujours ∑nxnr < +∞, alors 2 ⊂ ℓr donc r ≥ 2.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Satz von Dvoretzky-Rogers » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) A. Dvoretzky et C. A. Rogers, « Absolute and unconditional convergence in normed linear spaces », PNAS, vol. 36,‎ , p. 192-197 (lire en ligne).
  2. (en) Mikhail I. Kadet︠s︡ (en) et Vladimir M. Kadet︠s︡, Series in Banach Spaces: Conditional and Unconditional Convergence, Birkhäuser, coll. « Operator theory, advances and applications » (no 94),‎ (ISBN 978-3-76435401-5, lire en ligne), chap. IV, § 1 (« The Dvoretzky-Rogers Theorem »), p. 45-49.