Théorème de Cochran

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En mathématiques, le théorème de Cochran concerne la projection d'un vecteur aléatoire gaussien sur des sous-espaces vectoriels orthogonaux de dimensions finies[1]. Il établit la loi et l'indépendance de ces projections et de leurs normes euclidiennes. Ce théorème est utilisé en statistique pour justifier la convergence en loi de tests statistiques et est l'argument clé pour des résultats de base du modèle linéaire.

Énoncé du théorème

La version générale de ce théorème est la suivante :

Théorème de Cochran — Soient X un vecteur aléatoire gaussien de de loi (où , σ > 0 et Idn est la matrice identité de taille n), ainsi que F1, ..., Fm des sous-espaces vectoriels de , orthogonaux deux à deux et de somme .

Alors, si l'on note pour 1 ≤ im, PFi la matrice de la projection orthogonale sur Fi et di la dimension de Fi :

  • les vecteurs aléatoires PF1X, ...,PFmX sont deux à deux indépendants et de lois respectives  ;
  • les variables aléatoires réelles sont deux-à-deux indépendantes et sont de lois respectives χ2(d1), ...,χ2(dm).

Une version simplifiée mais équivalente est l'énoncé suivant :

Théorème de Cochran (simplifié) — Soit X un vecteur aléatoire gaussien de de loi et F un sous-espace vectoriel de de dimension d, F son orthogonal et PF,PF les matrices des projections orthogonales sur F, F. Alors :

  • les vecteurs aléatoires PFX,PFX sont indépendants et de lois respectives  ;
  • les variables aléatoires réelles |PFX|2,|PFX|2 sont indépendantes et de lois respectives χ2(d),χ2(n – d).

Démonstration

On peut passer de la version simplifiée à la version générale du théorème en appliquant une récurrence sur le nombre de sous-espaces vectoriels (qui interviennent dans l'énoncé) et en effectuant le changement de variable . Il suffit donc de démontrer la version simplifiée.


On note avec . Alors et par conséquent, PFX et PFX sont des vecteurs gaussiens. Puisque est diagonale par blocs, les vecteurs aléatoires PFX et PFX sont indépendantes et ont pour lois respectives et .


Pour la norme de la projection, il suffit de prendre (u1,...,ud) une base orthonormée de F et (ud + 1,...,un) une base orthonormée de F. Alors



Or, (avec U la matrice de passage de la base canonique à la base (u1,...,un)) (car U est orthogonale). Donc les variables aléatoires sont normales centrées et puisque la matrice de covariance est diagonale elles sont indépendantes. Par définition de la loi du χ2,

.

Applications

Estimateur non biaisé de la variance

On se donne un échantillon X = (X1,...,Xn)T de loi normale . On note la moyenne empirique et la variance empirique non biaisée Alors

Remarque : on a perdu un degré pour la loi du khi deux.

Test du khi deux

Le théorème de Cochran permet d'établir la convergence en loi de certains tests statistiques. C'est le cas du test d'adéquation ou le test d'indépendance. Il est aussi utilisé dans le cadre du modèle linéaire pour obtenir l'indépendance de et de et le fait que est de loi χ2(n – p)p – 1 est le nombre de variables.

Notes et références

  1. « Théorème de Cochran et applications en statistiques » [PDF], sur perso.univ-rennes1 (consulté le 22 mars 2015)

Voir aussi

Articles connexes

Lien externe