Théorème de Cesàro (théorie des nombres)

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En théorie des nombres, le théorème de Cesàro, démontré en 1881 par le mathématicien italien Ernesto Cesàro, établit que la probabilité pour que deux nombres entiers choisis au hasard soient premiers entre eux est égale à 6/π2. Plus précisément :

Pour tout N, on note PN la probabilité que deux nombres entiers inférieurs à N choisis au hasard soient premiers entre eux. On a alors

.

Plus généralement, la probabilité que k entiers choisis au hasard soient premiers entre eux[2] est 1/ζ(k).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Pour une critique de cette « preuve », cf. « Probabilité de choisir au hasard deux entiers premiers entre eux » (sur l'Internet Archive). Pour une preuve plus rigoureuse, voir par exemple G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par F. Sauvageot), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »], Vuibert-Springer, (ISBN 978-2-7117-7168-4), théorème 332 ou (en) Alexander Bogomolny, « Probability of Two Integers Being Coprime », sur Cut The Knot, Number theoretic solution.
  2. (en) László Tóth, « The probability that k positive integers are pairwise relatively prime », Fibonacci Quarterly, vol. 40, no 1,‎ , p. 13-18 (lire en ligne).